Dissertativas 6 - 2ª Fase - Dia 2 - Unicamp 2025

Poliedro Resolve - Resolução - Unicamp 1ª Fase 2025

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Exatas
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Humanas
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Questão 6

Dissertativa

A trave de equilíbrio é um aparelho de ginástica artística, no qual a atleta deve se equilibrar enquanto realiza movimentos coreográficos, saltos e giros. A Figura 1 representa a trave de equilíbrio. A trave é paralela ao solo e os pontos A, B, e C formam um triângulo equilátero. A Figura 2 representa um dos movimentos realizados pela atleta.

a) Sabendo que a distância da trave ao solo é de 110 cm, calcule o comprimento do segmento DB.

b) A atleta realiza um salto de saída da trave, representado na Figura 2. Sabe-se que a trajetória do centro de massa da atleta é uma parábola, conforme ilustrado na figura 2. A distância horizontal entre a saída da trave e o local da aterrisagem é 125 cm e o ponto mais alto da trajetória (ponto H) é alcançado a 50 cm da saída da trave (distância horizontal). Sabe-se que no momento da saída, o centro de massa está a 189 cm do chão (ponto P1) e que no momento da aterrisagem o centro de massa da atleta está situado a 64 cm do chão (ponto P2), como mostra a figura. Calcule a maior altura atingida pelo centro de massa da atleta durante esse movimento.

Resolução:

a. Como a trave é paralela ao solo e o triângulo ABC é equilátero, tem-se:

No triângulo retângulo ABD, tem-se:

$sen 60 ° = \frac{AD}{BD} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{110}{BD} \Rightarrow BD = \frac{220}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow BD = \frac{220 \sqrt{3}}{3} cm$

b. Adotando os eixos coordenados de modo conveniente e prolongando a trajetória parabólica por simetria, tem-se:

A função de 2º grau correspondente a essa trajetória pode ser dada por $f (x) = a \cdot (x - r_{1}) \cdot (x - r_{2})$ , na qual $r_{1} e r_{2}$ são as raízes da função $(a \neq 0)$ . Substituindo as coordenadas do ponto P1, tem-se:

$f (- 50) = 189 - 64 = 125 \Rightarrow a \cdot [(- 50) - (- 75)] \cdot [(- 50) - (75)] = 125 a \cdot 25 \cdot (- 125) = 125 \Rightarrow a \cdot 25 = - 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{25}$

A ordenada do vértice da parábola é dada por f(0). Assim, tem-se:

$y_{v} = f (0) = - \frac{1}{25} \cdot (0 - (- 75)) \cdot (0 - (- 75)) = - \frac{1}{25} \cdot 75 \cdot (- 75) y_{v} = 225$

A distância entre o vértice H e o solo será dada por:

$H_{máximo} = 225 + 64 \Rightarrow H_{máximo} = 289 cm$

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