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Dissertativas 5 - 2ª Fase - Dia 2 - Unicamp 2025

Poliedro Curso - Turmas 2025
Poliedro Resolve - Resolução - Unicamp 1ª Fase 2025

Gabarito

  • Questão ativa

  • Já visualizadas

  • Não visualizadas

  • Resolução pendente

  • ANL

    Questão anulada

  • S/A

    Sem alternativas

Questão 5

Dissertativa
5

Helena tem um cadeado cuja abertura depende de uma senha composta por 3 dígitos que são números inteiros de 0 a 9. Após definir a senha do cadeado, ela cola um adesivo com certo código no cadeado. Este código, no entanto, não é a senha do cadeado: deixar a senha anotada no cadeado seria um equívoco. Para obter a senha correta, (x, y, z), a partir do código (a, b, c), Helena usa a seguinte relação entre os dígitos do código e os dígitos da senha:

x + y + z = a,x + z = b,y + z = c.

a) Se o código anotado por Helena fosse (9, 6, 3), qual seria a senha do cadeado?

b) Passados alguns meses, Helena se esqueceu da senha. Para seu azar, o adesivo com o código se apagou parcialmente e só sobraram visíveis os dois primeiros dígitos: (6, 2, ?). Quais são todas as possíveis senhas? Justifique.

Resolução:

a. Como (a, b, c) = (9, 6, 3), considere, então, o sistema a seguir:

x+y+z=9x+z=6y+z=3.

Logo,

  • x+z=6⇒z=6-x;
  • y+z=3⇒y=3-z⇒y=3-(6-x)⇒y=3-6+x⇒y=-3+x.

Substituindo na primeira equação do sistema, tem-se:

x-3+x+6-x=9⇒x=6. 

Assim, é possível determinar o valor de y e z, uma vez que é conhecido o valor de x.

x=6,y=3,z=0.

b. Considere, agora, o sistema a seguir.

x+y+z=6,x+z=2,y+z=?,

sendo “?” um número inteiro.

Como x+z=2, tem-se: x+y+z=6⇔x+z+y=6⇔2+y=6⇔y=4.

Nota-se que, independentemente dos valores de x e z, y é sempre 4.

Como x, y, z são números inteiros no intervalo (0,9) e x+z=2, é necessário analisar quais números reais somados resultam em 2.

Assim, têm-se as três possibilidades a seguir.

x=0 e z=2x=1 e z=1x=2 e z=0

Portanto, são 3 senhas possíveis, sendo elas: (0,4,2), (1,4,1) e (2,4,0).

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