Questão 78 - 1. Santa Casa - Conhecimentos Gerais - Santa Casa 2025

O enunciado nos informa que PR = 12 cm e que $\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{SR}} = \frac{5}{4}$. Substituindo PS = 12 – SR,

$$\begin{gathered} \frac{12 - \mathrm{SR}}{\mathrm{SR}} = \frac{5}{4} \Rightarrow 48 - 4\mathrm{SR} = 5\mathrm{SR} \Rightarrow 9\mathrm{SR} = 48 \\ \mathrm{SR} = \frac{16}{3} \mathrm{cm} \end{gathered}$$

Note que os triângulos SQR e QPR são semelhantes (caso AA, pois ambos compartilham o ângulo $\hat{\mathrm{R}}$, e $\mathrm{R}\hat{\mathrm{Q}}\mathrm{S} = \mathrm{R}\hat{\mathrm{P}}\mathrm{Q}$). Reorientando os triângulos de forma a visualizar mais facilmente os lados correspondentes, tem-se:

Da semelhança de triângulos:

$\frac{12}{\mathrm{x}} = \frac{\mathrm{x}}{\left({\displaystyle \frac{16}{3}}\right)} \Rightarrow {\mathrm{x}}^2 = 64 \Rightarrow \boxed{\mathrm{x} = 8 \mathrm{cm}}$