Questão 8 - 1ª Fase - ITA 2025

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Sem alternativas

Questão 8

Objetiva

Considere a função

$f (x) = \sqrt{\frac{2 sen (2 x) + 2 sen (x) - 2 \cos (x) - 1}{8 (\cos (2 x) + 1)}}$

Seja $I = (a, b)$ o intervalo de maior comprimento contido em $[- π, 2 π]$ tal que f(x) está definida para todo $x \in I$ . O valor de $a + b$ é

Alternativas

A
0.
B
$\frac{π}{3}$ .
C
$\frac{2 π}{3}$ .
D
$\frac{5 π}{6}$ .
E
$\frac{13 π}{6}$ .

Gabarito:
E

Desenvolvendo a expressão:

$f (x) = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 senx \cdot cosx + 2 senx - 2 cosx - 1}{8 \cdot (2 \cos^{2} x - 1 + 1)}} f (x) = \sqrt{\frac{2 senx (2 cosx + 1) - (2 cosx + 1)}{8 \cdot 2 \cos^{2} x}} f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(2 senx - 1) (2 cosx + 1)}{\cos^{2} x}}$

Analisando o sinal das parcelas no intervalo considerado, tem-se:

Desse modo, $I = (\frac{5 π}{6}, \frac{4 π}{3})$ .

Assim, $a + b = \frac{5 π}{6} + \frac{4 π}{3} = \frac{13 π}{6}$ .

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