Questão 6 - 1ª Fase - ITA 2025

Analisando a equação, fazendo $3^{\mathrm{x}} = \mathrm{y} > 0$, percebe-se que: ${\text{y}}^2- \left(3\mathrm{a} + 4\right)\mathrm{y} + 2{\mathrm{a}}^2 +9\mathrm{a} - 5=0$

Ao analisar o $∆$, tem-se:

$∆ = {\left(3\mathrm{a} + 4\right)}^2 - 4\left(2{\mathrm{a}}^2 +9\mathrm{a} - 5\right) = {\mathrm{a}}^2 - 12\mathrm{a} + 36={\left(\mathrm{a} - 6\right)}^2 \ge 0, \forall \mathrm{a}\in \mathrm{ℝ}$

Para que haja ${\mathrm{y}}_1 \ne {\mathrm{y}}_2 : ∆ > 0, \mathrm{logo}, \mathrm{a} \ne 6 (\mathrm{condição} \mathrm{I})$

E, para que haja $y_1,y_2 > 0:$

${\mathrm{y}}_{1,2 }= \frac{3\mathrm{a} + 4 \pm \left(\mathrm{a} - 6\right)}{2} \Rightarrow {\mathrm{y}}_1 = 2\mathrm{a} - 1 > 0 \Rightarrow \mathrm{a} > \frac{1}{2}$ (condição II), e

${\mathrm{y}}_2 = \mathrm{a} + 5 > 0 \Rightarrow \mathrm{a} > -5$  (condição III)

De (I), (II) e (III):  $\mathrm{a} > \frac{1}{2} \mathrm{e} \mathrm{a} \ne 6$.

Desse modo, $\boxed{\mathrm{a} \in \left(\frac{1}{2},+\infty \right) \backslash \left\{6\right\}}$