Questão 3 - 1ª Fase - ITA 2025

${\mathrm{T}}_{\mathrm{p}+1}=\left(\begin{array}{c}6\\ \mathrm{p}\end{array}\right)·{\mathrm{x}}^{6-\mathrm{p}}·\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{p}}}=\left(\begin{array}{c}6\\ \mathrm{p}\end{array}\right)·{\mathrm{x}}^{6-2\mathrm{p}}; \mathrm{p}=0, 1, 2, \dots , 6$

O termo geral do desenvolvimento de ${\left(\mathrm{x}-\frac{2}{\mathrm{x}}\right)}^5$ é dado por:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{k}+1}=\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{k}\end{array}\right)·{\mathrm{x}}^{5-\mathrm{k}}·{\left(\frac{-2}{\mathrm{x}}\right)}^{\mathrm{k}}=\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{k}\end{array}\right)·{\left(-2\right)}^{\mathrm{k}}·{\mathrm{x}}^{5-2\mathrm{k}}; \mathrm{k}=0, 1, \dots , 5$

No produto, tem-se:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{p}+1}·{\mathrm{T}}_{\mathrm{k}+1}=\left(\begin{array}{c}6\\ \mathrm{p}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{k}\end{array}\right){\left(-2\right)}^{\mathrm{k}}·{\mathrm{x}}^{11-2\mathrm{p}-2\mathrm{k}}$

No termo independente:

$$\begin{gathered} 11-2\mathrm{p}-2\mathrm{k}=0 \\ 2\left(\mathrm{p}+\mathrm{k}\right)=11 \end{gathered}$$

Como p e k são inteiros, a equação não apresenta solução.