Questão 7 - 1ª Fase - ITA 2025

Resolução 1

Como o sistema I $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z}=2\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+4\mathrm{z}=1\end{array}\right.$ não tem nenhum parâmetro, pode-se resolvê-lo. 

Escalonando o sistema I, encontra-se o sistema SPI $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1\\ \mathrm{y}-2\mathrm{z}=1\\ 0\mathrm{z}=0\end{array}\right.$, cuja solução é $\mathrm{S}=\left\{\right(-3\mathrm{\alpha }, 1+2\mathrm{\alpha }, \mathrm{\alpha })/\mathrm{\alpha }\in \mathrm{ℝ}\}$. 

Como o sistema II deve ter o mesmo conjunto solução, podem-se escolher valores de $\mathrm{\alpha }$ convenientes.  

Considerando, primeiramente, $\mathrm{\alpha }=0$, obtém-se a solução (0, 1, 0). Substituindo tal solução na segunda equação do sistema II, obtém-se m = 5 como a única possibilidade de valor para m. 

Considerando, agora, $\mathrm{\alpha }=1$, obtém-se a solução (–3, 3, 1). Substituindo tal solução e $\mathrm{m}=5$ na segunda equação do sistema II, obtém-se $\mathrm{n}=-7$ como a única possibilidade de valor para n. 

Ainda substituindo a solução (–3, 3, 1), mas, agora, na terceira equação do sistema II, obtém-se $\boxed{\mathrm{k}=\frac{1}{3}}$.  

Resolução 2

Resolvendo-se o sistema I:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z}=2\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+4\mathrm{z}=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1\\ \mathrm{y}-2\mathrm{z}=1\\ 0\mathrm{z}=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-3\mathrm{\alpha }\\ \mathrm{y}=1+2\mathrm{\alpha }, \mathrm{com} \mathrm{\alpha }\in \mathrm{ℝ}\\ \mathrm{z}=\mathrm{\alpha }\end{array}\right.$

Substituindo-se essas soluções na terceira equação do sistema II:

$$\begin{gathered} \mathrm{k}\left(-3\mathrm{\alpha }\right)+\left(1+2\mathrm{\alpha }\right)-\left(\mathrm{\alpha }\right)=3\mathrm{m}+2\mathrm{n} \\ -3\mathrm{\alpha k}+\mathrm{\alpha }+1=3\mathrm{m}+2\mathrm{n} \\ \mathrm{k}=\frac{1-3\mathrm{m}-2\mathrm{n}}{3\mathrm{\alpha }}+\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Como k deve ter o mesmo valor independentemente de $\mathrm{\alpha }$, a primeira fração deve ser zero.

Logo:

$\boxed{\mathrm{k}=\frac{1}{3}}$