Questão 10 - 1ª Fase - ITA 2025

Resolução 1

As raízes em comum de dois polinômios são as raízes em comum de seu mdc. 

Calculando o mdc de ${\mathrm{x}}^5 - {\mathrm{x}}^3 + 12\mathrm{x} - 18$ e ${\mathrm{x}}^4 - {\mathrm{x}}^3 + 5\mathrm{x} - 3$ pelo método das divisões sucessivas, tem-se:

$\begin{array}{c}{\mathrm{x}}^5-{\mathrm{x}}^3+12\mathrm{x}-18\\ \left(-5{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-15\right)\end{array}\overline{)\begin{array}{c}\underline{{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3+5\mathrm{x}-3}\\ \mathrm{x}+1\end{array}}$

Desse modo:

$$\begin{gathered} \mathrm{mdc}\left({\mathrm{x}}^5 - {\mathrm{x}}^3 + 12\mathrm{x} - 18; {\mathrm{x}}^4 - {\mathrm{x}}^3 + 5\mathrm{x} - 3\right)= \\ =\mathrm{mdc}\left({\mathrm{x}}^4 - {\mathrm{x}}^3+ 5\mathrm{x} - 3; -5{\mathrm{x}}^2 + 10\mathrm{x} - 15\right)= \\ =\mathrm{mdc}\left({\mathrm{x}}^4 - {\mathrm{x}}^3 + 5\mathrm{x} - 3; {\mathrm{x}}^2 - 2\mathrm{x} + 3\right) \end{gathered}$$

Então:

$\begin{array}{c}{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3+5\mathrm{x}-3\\ \left(0\right)\end{array}\overline{)\begin{array}{c}\underline{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3}\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-1\end{array}}$

Desse modo, $\mathrm{mdc}\left({\mathrm{x}}^5 - {\mathrm{x}}^3 + 12\mathrm{x} - 18; {\mathrm{x}}^4 - {\mathrm{x}}^3 + 5\mathrm{x} - 3\right) = {\mathrm{x}}^2 - 2\mathrm{x} + 3$

Assim, as raízes em comum de $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)$ e de $\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)$ são as raízes de ${\mathrm{x}}^2 - 2\mathrm{x} + 3 = 0$, ou seja: $1 \pm \sqrt{2}\mathrm{i}$.

Resolução 2

Seja a uma raiz comum aos polinômios.

De p(x):

${\mathrm{a}}^5-{\mathrm{a}}^3+12\mathrm{a}-18=0\Rightarrow {\mathrm{a}}^3\left({\mathrm{a}}^2-1\right)=18-2\mathrm{a}\Rightarrow {\mathrm{a}}^3=\frac{18-12\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-1}$

De q(x):

${\mathrm{a}}^4-{\mathrm{a}}^3+5\mathrm{a}-3=0\Rightarrow {\mathrm{a}}^3\left(\mathrm{a}-1\right)=3-5\mathrm{a}\Rightarrow {\mathrm{a}}^3=\frac{3-5\mathrm{a}}{\mathrm{a}-1}$

Igualando:

$\frac{18-12\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-1}=\frac{3-5\mathrm{a}}{\mathrm{a}-1}\Rightarrow 18-12\mathrm{a}=\left(3-5\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{a}+1\right)\Rightarrow {\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+3=0$

Cujas raízes são $\boxed{\mathrm{a}=1+\mathrm{i}\sqrt{2}}$ ou $\boxed{\mathrm{a}=1-\mathrm{i}\sqrt{2}}$.