Questão 5 - 1ª Fase - ITA 2025

Primeiro, deve-se notar que $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{b}}_1\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}-1}={\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}_1\end{array}\right.\to {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}$

Assim, tem-se:

Afirmação I: correta. Se $\left({\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right)$ é PG, então ${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{b}}_1{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}_1{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}-1}={\mathrm{b}}_1(\mathrm{q}-1){\mathrm{q}}^{\mathrm{n}-1}$ é uma PG com primeiro termo ${\mathrm{a}}_1={\mathrm{b}}_1(\mathrm{q}-1)$ e razão igual a q.

Afirmação II: incorreta. Se tomar $\left({\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right)$, definida por ${\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}}+1$, tem-se ${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}+1}-2^{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}}$. Nesse caso, vê-se uma possibilidade de ${\text{(a}}_{\mathrm{n}})$ ser PG, mas $\left({\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right)$ não o ser.

Afirmação III: incorreta. Se $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right)$ é PA, então $\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\right)$ é PA de segunda ordem.