Questão 12 - 1ª Fase - ITA 2025

Seja $\mathrm{m}=2^{\mathrm{\alpha }}·{\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{\beta }}_1}·{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{\beta }}_2}...{\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}^{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}}$ a fatoração em primos de m, em que ${\mathrm{p}}_1, {\mathrm{p}}_2, ..., {\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}$ são primos ímpares.

Desse modo, $16\mathrm{m}=2^{\mathrm{\alpha }+4}·{\mathrm{p}}_1^{{\mathrm{\beta }}_1}·{\mathrm{p}}_2^{{\mathrm{\beta }}_2}... {\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}^{{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}}$.

O número de divisores de 16m é dado por:

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{\alpha }+5\right)\left({\mathrm{\beta }}_1+1\right)\left({\mathrm{\beta }}_2+1\right)...\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}+1\right)=231 \\ \left(\mathrm{\alpha }+5\right)\left({\mathrm{\beta }}_1+1\right)\left({\mathrm{\beta }}_2+1\right)...\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}+1\right)=3·7·11 (*) \end{gathered}$$

Deve-se reparar que, como $\mathrm{\alpha }, {\mathrm{\beta }}_1, ..., {\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}$ são inteiros não negativos, então:

$\mathrm{\alpha }+5\ge 5$

Dada a equação nos inteiros, tem-se as seguintes possibilidades:

$\mathrm{\alpha }+5=7; \mathrm{\alpha }+5=11; \mathrm{\alpha }+5=21; \mathrm{\alpha }+5=33; \mathrm{\alpha }+5=77; \mathrm{\alpha }+5=231$

Em todo caso, $\mathrm{\alpha }>1$. Desse modo, m é par.

Assim, (I) é verdadeira.

Além disso, analisa-se a equação:

$\left(\mathrm{\alpha }+5\right)\left({\mathrm{\beta }}_1+1\right)\left({\mathrm{\beta }}_2+1\right)...\left({\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}+1\right)=3·7·11$

Deve-se notar que as parcelas do lado esquerdo devem ser todas ímpares. Para isso, $\mathrm{\alpha }, {\mathrm{\beta }}_1, ..., {\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}$ são todos pares. Desse modo, m é um quadrado perfeito.

Assim, (II) é verdadeira.

Por fim, deve-se notar que 16m não precisa necessariamente ter 3 fatores primos distintos. Percebe-se, então, que $\mathrm{\alpha }=226$ e ${\mathrm{\beta }}_1={\mathrm{\beta }}_2=...={\mathrm{\beta }}_{\mathrm{k}}=0$ é uma solução da equação (*).

Por isso, (III) é falsa.

Assim, são verdadeiras apenas as afirmações I e II.