Questão 4 - 1ª Fase - ITA 2025

Observe o gráfico de $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1$:

Repare que a parábola é simétrica em relação à reta $\mathrm{x}=\frac{1}{4}$. Desse modo, dada a condição $\mathrm{x}>0$, para todo $\mathrm{k}\in \left(0,\frac{1}{4}\right)$, tem-se $\mathrm{h}\left(\frac{1}{4}-\mathrm{k}\right)=\mathrm{h}\left(\frac{1}{4}+\mathrm{k}\right)$.

Por exemplo, para $\mathrm{k}=\frac{1}{5}$, tem-se $\mathrm{h}\left(\frac{1}{20}\right)=\mathrm{h}\left(\frac{9}{20}\right)$. 

Assim:

$\mathrm{g}\left({\mathrm{x}}^2\right)=\mathrm{f}\left(2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)$. 

Para $\mathrm{x}=\frac{1}{20}$ ou $\mathrm{x}=\frac{9}{20}$, tem-se:

$$\begin{gathered} \mathrm{g}\left(\frac{1}{400}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\left(\frac{1}{20}\right)\right) \\ \mathrm{g}\left(\frac{81}{400}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\left(\frac{9}{20}\right)\right). \end{gathered}$$

Desse modo, $\mathrm{g}\left(\frac{1}{400}\right)=\mathrm{g}\left(\frac{81}{400}\right)$. 

Assim, $\mathrm{g}$ não é injetora.