Questão 11 - 1ª Fase - ITA 2025

A elipse  $\left(\mathrm{E}\right): \frac{{\mathrm{x}}^2}{4} + {\mathrm{y}}^2 = 1$ tem os seguintes elementos:

Centro: $\mathrm{C} = \left(0, 0\right)$

Semieixo maior: $\mathrm{a} = 2$

Semieixo menor: $\mathrm{b} = 1$

Semidistância focal: ${\mathrm{c}}^2 = {\mathrm{a}}^2 - {\mathrm{b}}^2 = 4 - 1 = 3 \to \mathrm{c} = \sqrt{3}$

Focos: ${\mathrm{F}}_1 = \left(-\sqrt{3}, 0\right)$ e ${\mathrm{F}}_2 = \left(\sqrt{3}, 0\right)$

A hipérbole H tem os mesmos focos ${\mathrm{F}}_1 = \left(-\sqrt{3}, 0\right)$ e ${\mathrm{F}}_2 = \left(\sqrt{3}, 0\right)$ e $\mathrm{c}=\sqrt{3}$.

Seja $\mathrm{P}=\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}, {\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\right)$. Tem-se:

$\mathrm{tg\theta }=\frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\to {\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=\frac{\sqrt{3}}{6}·{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}$

Como P pertence à elipse (E), tem-se:

$\frac{{{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}}^2}{4} + {\left(\frac{\sqrt{3}}{6} · {\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}\right)}^2 = 1 \to \frac{{{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}}^2}{4} + \frac{3{{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}}^2}{36} = 1 \to {{\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}}^2 = \frac{36}{12} = 3 \to {\mathrm{x}}_{\mathrm{p} }= \sqrt{3} \mathrm{e} {\mathrm{y}}_{\mathrm{p}} = \frac{\sqrt{3}}{6} · \sqrt{3} = \frac{1}{2}$

No triângulo ${\mathrm{F}}_1{\mathrm{PF}}_2: {\mathrm{F}}_1{\mathrm{F}}_2 = 2\sqrt{3} \mathrm{e} {\mathrm{PF}}_{2 }= \frac{1}{2}$. Assim:

$\mathrm{P}{{\mathrm{F}}_1}^2 = {\left(2\sqrt{3}\right)}^2 + {\left(\frac{1}{2}\right)}^2 = 12 + \frac{1}{4} = \frac{49}{4} \to {\mathrm{PF}}_1 = \frac{7}{2}$

Para a hipérbole H, sendo 2a' seu eixo real, tem-se:

$2\mathrm{a}\text{'} = {\mathrm{PF}}_1 - {\mathrm{PF}}_2 = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3 \to \mathrm{a}\text{'} = \frac{3}{2}$

Logo, a excentricidade da hipérbole é dada por:

$\boxed{\mathrm{e} = \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}\text{'}} = \frac{\sqrt{3}}{{\displaystyle \frac{3}{2}}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}}$