Questão 48 - Einstein - 1ª Fase - Einstein 2025

Da figura, a área da base do prisma é ${\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}}$, a da pirâmide é$\frac{1}{2}$. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}}$ e, fazendo CG = x, pode-se concluir que os volumes do prisma e da pirâmide são:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide}} = {\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}} · \mathrm{x}$               ${\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide}} = \frac{1}{3} · \frac{1}{2}{\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}} · \mathrm{CL} = \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}} · \mathrm{CL}}{6}$.

Como esses volumes são iguais, tem-se:

$\frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}} · \mathrm{CL}}{6} = {\mathrm{A}}_{\mathrm{ABCD}} · \mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{CL} = 6\mathrm{x}$      $\mathrm{CL} = \mathrm{CG} + \mathrm{GL} \iff 6\mathrm{x} = \mathrm{x} + \mathrm{GL} \iff \mathrm{GL} = 5\mathrm{x}$

As pirâmides de vértices BCDL e GJKL são semelhantes, com alturas iguais a CL = 6x e GL = 5x, respectivamente. Assim, lembrando que os volumes do prisma e da pirâmide BCDL são iguais:

$\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide} \mathrm{GJKL}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide} \mathrm{BCDL}}} = {\left(\frac{5\mathrm{x}}{6\mathrm{x}}\right)}^3 \iff \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide} \mathrm{GJKL}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide} \mathrm{BCDL}}} = \frac{125}{216} \iff \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{pirâmide} \mathrm{GJKL}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{prisma}}} = \boxed{\frac{125}{216}}$