Questão 47 - Einstein - 1ª Fase - Einstein 2025

Gabarito

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  • Resolução pendente

  • ANL

    Questão anulada

  • S/A

    Sem alternativas

Questão 47

Objetiva
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A figura mostra o quadrado PQRS sobre um ladrilhamento hexagonal regular do plano, em que os vértices P e Q coincidem com vértices de hexágonos do ladrilhamento.

Sabendo que cada um dos hexágonos do ladrilhamento tem 1 cm2 de área, a área do quadrado PQRS é

Alternativas

  1. A

    962 cm2

  2. B

    63 cm2

  3. C

    11 cm2

  4. D

    2223 cm2

  5. E

    10 cm2

Gabarito:
    B

Pela figura, para se descobrir a medida do lado do quadrado PQRS, basta encontrar a medida da diagonal PT de um hexágono e, depois,multiplicar por 3, já que PT = TU = UQ, conforme a figura a seguir:

Como os hexágonos são regulares, todos os seus ângulos internos têm a mesma medida θ.

A soma dos ângulos internos de um hexágono é S6=6-2·180°=4·180°=720°. Assim, cada ângulo interno tem medida θ=720°6=120°.

Um hexágono regular de lado de medida l é dividido em 6 triângulos equiláteros cujas medidas dos lados também é l.

           

Como a área de cada triângulo equilátero é dada por l234, a área do hexágono é 6·l234.

Como cada hexágono tem área igual a 1, conclui-se que:

6·l234=1l23=46=23l2=233·33l2=239

Pela lei dos cossenos, sabe-se que:

d2=l2+l2-2·l·l·cos θd2=2l2-2l2·cos 120°d2=2l2-2l2·-12d2=2l2+l2d2=3l2d2=3·239d2=233

Logo, a medida do lado do quadrado PQRS é 3d e, portanto, sua área A é dada por:

A=3d2=9d2=9·233=63 cm2

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