Questão 47 - 1ª Fase - Einstein 2027

No triângulo retângulo CDE, por Pitágoras: 

${\mathrm{CD}}^2=1^2+2^2\to \mathrm{CD}=\sqrt{5}$

Ainda no triângulo retângulo CDE, utilizando as razões trigonométricas:

$\mathrm{sen\theta }=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Além disso, os ângulos agudos de CDE são complementares, assim $\mathrm{C}=90°-\mathrm{\theta }$.

Pela Lei dos Senos no triângulo ABD:

$\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{senA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{senC}}\to \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{sen}\left(2\mathrm{\theta }\right)}=\frac{3}{\mathrm{sen}\left(90°-\mathrm{\theta }\right)}$

Como $\mathrm{sen}\left(2\mathrm{\theta }\right)=2\mathrm{sen\theta cos\theta }$e $\mathrm{sen}\left(90°-\mathrm{\theta }\right)=\mathrm{cos\theta }$, temos:
$\frac{\mathrm{CB}}{2\mathrm{sen\theta cos\theta }}=\frac{3}{\mathrm{cos\theta }}\to \mathrm{CB}=3·2·\mathrm{sen\theta }$

Substituindo $\mathrm{sen\theta }=\frac{\sqrt{5}}{5}$:

$\mathrm{CB}=3·2·\frac{\sqrt{5}}{5}\to \boxed{\mathrm{CB}=\frac{6\sqrt{5}}{5}}$.