Questão 46 - 1ª Fase - Einstein 2027

Como se trata de um sistema linear homogêneo que possui infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero.

$\left|\begin{array}{cc}\mathrm{sen} \mathrm{\alpha }& -1\\ \cos \mathrm{\alpha }& \mathrm{sen} \mathrm{\alpha }\end{array}\right|=0\to {\mathrm{sen}}^2 \mathrm{\alpha }+\cos \mathrm{\alpha }=0$

Da relação fundamental, temos ${\mathrm{sen}}^2 \mathrm{\alpha } =1-{\cos }^2 \mathrm{\alpha }$

Assim:

$1-{\cos }^2 \mathrm{\alpha } + \cos \mathrm{\alpha }=0\to {\cos }^2 \mathrm{\alpha }-\cos \mathrm{\alpha }-1=0$

Resolvendo a equação trigonométrica:

$$\begin{gathered} △={\left(-1\right)}^2-4·1\left(-1\right)=5 \\ \cos \mathrm{\alpha } = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \\ \cos \mathrm{\alpha } = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \mathrm{ou} \cos \mathrm{\alpha } = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Como $-1\le \cos \mathrm{\alpha }\le 1$ e $\cos \mathrm{\alpha } =\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$, temos que a única solução possível será $\cos \mathrm{\alpha } =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.