Dissertativa 4 - 1ª Fase - Einstein 2027

a.

Como a = 1, a equação da parábola é dada por y = ${\mathrm{x}}^2$ – 2x + c.

Para que o vértice $\mathrm{V}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{V}},{\mathrm{y}}_{\mathrm{V}}\right)$ dessa parábola esteja na reta y = x, é necessário que ${\mathrm{y}}_{\mathrm{V}}={\mathrm{x}}_{\mathrm{V}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{V}}=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=\frac{-\left(-2\right)}{2·1}=\frac{2}{2}=1$

Portanto, o vértice dessa parábola é dado pelo ponto $\mathbf{V}\left(1,1\right).$

Substituindo esse ponto na equação da parábola:

$$\begin{gathered} 1=1^2-2·1+\mathrm{c} \\ 1=1-2+\mathrm{c} \\ 1=-1+\mathrm{c} \\ \mathrm{c}=2 \end{gathered}$$

$\boxed{\mathrm{Vértice} \mathrm{V}(1,1) \mathrm{e} \mathrm{c} = 2}$

b.

Para que a parábola $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{c}$ cruze a reta y = x, temos que igualar as duas equações.

Portanto, ${\mathrm{ax}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{c}=\mathrm{x}\Rightarrow {\mathrm{ax}}^2-3\mathrm{x}+\mathrm{c}=0$

Para que esse cruzamento aconteça em dois pontos distintos, essa equação deve ter duas soluções distintas. Ou seja, $∆>0$

$$\begin{gathered} {\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}>0 \\ {\left(-3\right)}^2-4\mathrm{ac}>0 \\ 9-4\mathrm{ac}>0 \\ 4\mathrm{ac}<9 \\ \mathrm{ac}<\frac{9}{4} \\ \mathrm{ac}<2,25 \end{gathered}$$

Como $\mathrm{a}, \mathrm{c} \in \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$, pois são números obtidos no lançamento de um dado, isso só é possível em 3 casos

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=1, \mathrm{c}=1\Rightarrow \left(1,1\right) \\ \mathrm{a}=1, \mathrm{c}=2\Rightarrow \left(1,2\right) \\ \mathrm{a}=2, \mathrm{c}=1\Rightarrow \left(2,1\right) \end{gathered}$$

Ao lançar duas vezes um dado honesto, temos um total de $6·6=36$

Portanto, a probabilidade pedida é:

$\frac{3}{36}=\boxed{\frac{1}{12}}$