Questão 31 - Prova Modelo A - AFA 2026

Como os segmentos $\overline{\mathrm{LM}}$ e $\overline{\mathrm{KM}}$ são tangentes às circunferências no mesmo ponto M, eles são ortogonais entre si. Além disso, como o segmento KM faz 90° com a reta tangente, o segmento KM passa pelo centro da circunferência, sendo um diâmetro. A mesma justificativa é válida para o segmento LM. Como LM e KM são diâmetros, os ângulos MNL e MNK são de 90°.

Dessa forma, por Pitágoras, tem-se:

${\mathrm{ML}}^2={\mathrm{MN}}^2+{\mathrm{LN}}^2$

${\mathrm{ML}}^2=(2\mathrm{x}{)}^2+{\mathrm{x}}^2$

$\mathrm{ML}=\sqrt{5}\mathrm{x}$

Das propriedades dos triângulos retângulos, tem-se: 

${\mathrm{ML}}^2=\mathrm{NL}· \mathrm{KL}$

$(\sqrt{5}\mathrm{x}{)}^2=\mathrm{x}·(2\mathrm{x}+5)$

$5{\mathrm{x}}^2=2{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}$

$\mathrm{x}=\frac{5}{3}$

Assim, $\mathrm{LM}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$​​, $\mathrm{NL}=\frac{5}{3}$​, $\mathrm{KN}=\frac{20}{3}$​ e KM é obtido por Pitágoras:

${\mathrm{KM}}^2={\left(\frac{20}{3}\right)}^2+{\left(2·\frac{5}{3}\right)}^2$

$\mathrm{KM}=\frac{10\sqrt{5}}{3}$

Afirmativa I: correta. $\frac{\mathrm{KM}}{\mathrm{LM}}=\frac{\frac{10\sqrt{5}}{3}}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}= 2$. 

Afirmativa II: correta. $\frac{\mathrm{KN}}{\mathrm{NL}}=\frac{\frac{20}{3}}{\frac{5}{3}}= 4$.

Afirmativa III: correta. Pelas propriedades dos triângulos retângulos, infere-se que os triângulos são semelhantes. 

Portanto, todas as afirmativas são verdadeiras.