Dissertativa 4 - 2ª Fase - 2º Dia - Fuvest 2026

a) Admitindo-se que um produto custe P. Após um reajuste em 50%, o novo valor seria: $(1 + 0,50) \mathrm{P} = 1,5 \mathrm{P}$. Em seguida, seria aplicado um desconto y% , de modo que o produto voltaria a custar P. Então:

$$\begin{gathered} \left(1 - \mathrm{y}\mathrm{\%}\right) 1,5\mathrm{P} = \mathrm{P} \\ 1 - \mathrm{y}\mathrm{\%} = \frac{1}{1,5} \\ 1 - \mathrm{y}\mathrm{\%} = \frac{2}{3} \\ \mathrm{y}\mathrm{\%} = \frac{1}{3} \\ \frac{\mathrm{y}}{100} = \frac{1}{3} \\ \mathrm{y}=\frac{100}{3} \end{gathered}$$

Portanto, o percentual de desconto seria $\frac{100}{3}\%$.

b) Utilizando as expressões de fator de aumento e fator de redução, tem-se:

$$\begin{gathered} \left(1 + \mathrm{x}\mathrm{\%}\right) \left(1 - \mathrm{y}\mathrm{\%}\right)\mathrm{P} = \mathrm{P} \\ \left(1 + \frac{\mathrm{x}}{100}\right) \left(1 - \frac{\mathrm{y}}{100}\right) = 1 \\ \left(100 + \mathrm{x}\right) \left(100 - \mathrm{y}\right) = 10 000 \\ 100 - \mathrm{y} = \frac{10000}{100 + \mathrm{x}} \\ \mathrm{y} = 100 - \frac{10000}{100 + \mathrm{x}} \\ \mathrm{y} = \frac{100\mathrm{x}}{100 + \mathrm{x}} \end{gathered}$$

c) A partir da resolução do item B, tem-se a relação $(100 + \mathrm{m}) (100 - \mathrm{n}) = 10 000$. Dado que m  e n  são números inteiros, os termos $100 + \mathrm{m}$ e $100 - \mathrm{n}$ tmabém são número inteiros. Por isso, o número 10 000 é divisível por $100 + \mathrm{m}$. Além disso, analisando a forma fatorada de 10 000, ou seja, $2^4 · 5^4$, conclui-se que o termo $100 + \mathrm{m}$ pode ser decomposto em faotres 2 e 5, de modo que $100 + \mathrm{m} = 2^{\mathrm{\alpha }} · 5^{\mathrm{\beta }}$ em que $\alpha$ e $\beta$ são números inteiros de 0 a 4. Por inspeção, identificou-se que o menor número inteiro mqior que 100 que atende a essa condição é $125 = 2^0 · 5^3$, Por consequência, $\mathrm{m} = 25$ e retornando o resultado do item B, tem-se:

$\mathrm{n} = \frac{100\mathrm{m}}{100 + \mathrm{m}} \to \mathrm{n} = \frac{100 · 25}{100 + 25} \to \mathrm{n} = 20$

Logo, o menor valor de m  para que n  seja também um número inteiro é 25.