Dissertativa 3 - 2ª Fase - 2º Dia - Fuvest 2026

a) A situação em que a distância do centro do sonar ao objeto é mínima ocorre quando o objeto está o mais próximo possível do sonar. Nesse caso, a superfície do objeto encostaria na superfície esférica do sonar. Por isso, a distância mínima do centro do sonar até a superfície do objeto é igual ao raio do sonar, isto é, 3 metros.

b) Adota-se uma representação de um triângulo retângulo, em que o centro do sonar e o objeto detectado ocupam os vértices S e O, respectivamente, e a linha horizontal do submarino contém o segmento. Nessa representação, a medida da hipotenusa  representa a distância do objeto ao centro do sonar, ou seja, OS = 10 metros.

Desse modo, cabe determinar a medida de $\overline{\mathrm{OP}}$:

$\mathrm{sen} 45°= \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OS}} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\mathrm{OP}}{10} \Rightarrow \mathrm{OP}=5\sqrt{2}$

Sabendo a profundidade do centro do sonar é 120 metros, a profundidade do objeto em relação à superfície da água é dada por: $\left(120 - 5\sqrt{2}\right) \mathrm{metros}$.

c) Dado que a linha horizontal do submarino está a 120 metros de profundidade, um objeto que está a 170 metros de profundidade se encontra a 50 metros abaixo da linha horizontal do submarino. Dessa forma, podemos adotar um triângulo retângulo, em que os vértices S e O representam as posições do centro do sonar e do objeto detectado, respectivamente. Além disso, o segmento $\overline{\mathrm{SP}}$ está incluído na linha horizontal do submarino.

A fim de determinar a medida do segmento $\overline{\mathrm{OS}}$, tem-se:

$\mathrm{sen} 30°= \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OS}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{50}{\mathrm{OS}} \Rightarrow \mathrm{OS}=100$

Portanto, a distância do objeto até o centro do sonar é 100 metros.