Dissertativas 4 - Dia 2 - Fuvest 2025

O sistema Price, também conhecido como Sistema Francês de Amortização, é um modelo muito utilizado para financiamentos, como os de celulares e veículos. A principal característica desse sistema é que as parcelas são fixas durante todo o período do financiamento, ou seja, o valor que se paga periodicamente é o mesmo do início ao fim. A parcela do financiamento no sistema Price é composta por duas partes: amortização e juros. Nesse sistema, ao longo do tempo, o valor pago a título de juros diminui à medida que o valor pago a título de amortização aumenta, mantendo o valor total da parcela constante, conforme o modelo matemático:

$\mathrm{V} = \frac{\mathrm{P}}{(1 + \mathrm{j})} + \frac{\mathrm{P}}{{(1 + \mathrm{j})}^2} + \frac{\mathrm{P}}{{(1 + \mathrm{j})}^3} + \dots + \frac{\mathrm{P}}{{(1 + \mathrm{j})}^{\mathrm{n}}} = \frac{\mathrm{P}}{(1 + \mathrm{j})}\left[1 + \frac{1}{(1 + \mathrm{j})} + \frac{\mathrm{P}}{{(1 + \mathrm{j})}^2} + \dots + \frac{\mathrm{P}}{{(1 + \mathrm{j})}^{\mathrm{n}-1}}\right]$

em que V corresponde ao valor total financiado, j representa a taxa de juros cobrada mensalmente, n é o número de parcelas mensais a serem pagas e P é o valor de cada uma das parcelas. 

O valor de n é um número inteiro, dado que é o número de parcelas do financiamento. Contudo, ao modelar matematicamente tal problema, pode-se deparar com valores não inteiros. Existem calculadoras que, por exemplo, mesmo que o valor modelado matematicamente para n não seja inteiro, apresentam como resposta padrão n como sendo o menor inteiro maior que o valor obtido com o modelo matemático. Por exemplo, considerando um valor financiado de R$19.000,00, que será cobrado a uma taxa de juros de 1% ao mês, com parcelas fixas de R$500,00, a calculadora apresenta como solução n = 49. 

a) Supondo a ausência de juros, ou seja, uma taxa de juros de 0% ao mês, em quantas parcelas de R$500,00 poderia ser quitado o financiamento de R$19.000,00? 

b) Considerando uma taxa de juros de 1% ao mês, parcelas fixas de R$500,00 e n = 49, calcule o valor financiado V obtido por meio do modelo matemático apresentado. 

c) Assumindo que n não precisa ser inteiro no modelo matemático apresentado, encontre n para um valor financiado de R$19.000,00 que será pago em parcelas fixas de R$500,00 a uma taxa de juros de 1% ao mês.

Note e adote:

No item (b), utilize, se necessário: ${(1,01)}^{-48} = 0,620260; {(1,01)}^{-49} = 0,614119; {(1,01)}^{-50} = 0,608039$. 
No item (c), a resposta pode ser apresentada em função de logaritmo.