Dissertativas 3 - Dia 2 - Fuvest 2025

Após uma proposta de atividade de uma professora que incentivava estudantes de sua turma a explorar, em uma tabela numérica, o pensamento matemático por meio de atividades investigativas, a turma percebeu diversos padrões interessantes. 

Considere uma tabela com 10 colunas, em que os números naturais estão dispostos sequencialmente a partir da primeira linha. Nessa tabela, a professora destacou um retângulo, como mostra a figura: 

Posteriormente, definiu como S a soma dos elementos do retângulo e como D o módulo da diferença do produto dos elementos das diagonais. Para o retângulo destacado, temos: 

$$\begin{gathered} S = 6 + 7 + 16 + 17 = 46. \\ D = |7\times 16 ꟷ 6\times 17| = |112 ꟷ 102|= 10. \end{gathered}$$

Se esse retângulo for deslocado uma coluna para a direita, teremos S = 50, e se for deslocado uma linha para baixo, teremos S = 86. 

A partir das informações apresentadas, responda: 

a) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado n linhas para baixo, qual será o valor de S?

b) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado n linhas para baixo, qual será o valor de D?

c) Considere agora que a tabela foi construída com n colunas, sendo $n\ge 2$. Qual é o valor de D para um retângulo cujo menor elemento é k, com $k\ne pn (p \in \mathrm{\mathbb{N}})$?