Dissertativas 4 - Dia 2 - Fuvest 2025

Poliedro Resolve - Resoluções - Fuvest 1ª Fase - 2025

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Questão 4

Dissertativa

Ondas sísmicas são ondas que se propagam em camadas de rochas no interior do manto da Terra. Essas ondas podem ser longitudinais (como o som, por exemplo) ou transversais (como as ondas que se propagam em uma corda). Um tipo de onda sísmica transversal é a chamada onda secundária (ou “onda S” ou “onda de cisalhamento”) e sua velocidade é dada por

$v_{s} = \sqrt{\frac{μ}{ρ}},$

em que $μ$ é o módulo de cisalhamento e $ρ$ é a densidade (ou massa específica), parâmetros da rocha em que a onda se propaga.

a) Através de uma análise dimensional, determine a unidade do módulo de cisalhamento $μ$ no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Na interface entre dois tipos de rocha, pode haver refração das ondas sísmicas, e a mudança de direção é dada pela Lei de Snell, conforme mostra o exemplo da figura a seguir.

$\frac{sen θ_{1}}{v_{s_{1}}} = \frac{sen θ_{2}}{v_{s_{2}}}$

Velocidades de ondas S típicas de alguns materiais comuns no manto terrestre são dadas na tabela a seguir.

Material	Granito	Basalto	Arenito	Calcário	Argila
Velocidade da onda S (m/s)	2900	2600	1400	2700	700

Fontes: https://gpg.geosci.xyz/content/physical_properties/seismic_velocity_duplicate.html
https://pburnley.faculty.unlv.edu/GEOL452_652/seismology/notes/SeismicNotes10RVel.html

Considere uma onda S harmônica de frequência 0,3 Hz propagando-se através de uma interface entre duas camadas com composições diferentes.

b) Se a camada 1 for predominantemente composta por basalto e a camada 2 por granito, qual será a variação no comprimento de onda, $λ_{2} - λ_{1} ?$
c) Em outra interface, são medidos $sen θ_{1} = 0, 26 e sen θ_{2} = 0, 52 .$ Se a camada 1 for composta predominantemente de argila, qual será, dentre os materiais apresentados na tabela, aquele que melhor corresponderá à composição da camada 2? Justifique a sua resposta.

Note e adote:

Unidade de densidade (massa específica) no SI: $kg / m^{3}$ .

Resolução:

a. A partir da expressão da velocidade apresentada, pode-se obter o valor do módulo de cisalhamento $(μ)$ em função da velocidade $(ν)$ e da densidade $(ρ)$ :

$v = \sqrt{\frac{μ}{ρ}} \Leftrightarrow v^{2} = \frac{μ}{ρ} \Leftrightarrow μ = ρ \cdot v^{2}$

Assim, fazendo a análise dimensional de cada grandeza, tem-se:

$[ρ] = M \cdot L^{- 3} [v] = L \cdot T^{- 1}$

$[μ] = M \cdot L^{- 3} \cdot {(L \cdot T^{- 1})}^{2} \Rightarrow [μ] = M \cdot L^{- 3} \cdot L^{2} \cdot T^{- 2} \Rightarrow [μ] = M \cdot L^{- 1} \cdot T^{- 2} (equação dimensional do módulo de cisalhamento)$

É importante ressaltar que, nas equações dimensionais, M, L e T representam massa, comprimento e tempo, respectivamente. A partir dessas grandezas fundamentais da mecânica, pode-se escrever qualquer outra grandeza. Assim, utiliza-se essa notação para realizar a análise de unidades.

A partir da equação dimensional do cisalhamento, sua unidade é dada por:

$[μ] = M \cdot L^{- 1} \cdot T^{- 2} \Rightarrow [μ] = kg \cdot m^{- 1} \cdot s^{- 2} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}}$

b. Pela equação fundamental da ondulatória, pode-se determinar o comprimento de onda nas camadas 1 e 2:

$λ_{1} = \frac{v_{1}}{f_{1}} = \frac{2 600}{0, 3} λ_{2} = \frac{v_{2}}{f_{2}} = \frac{2 900}{0, 3}$

Denota-se $f_{1} = f_{2}$ , pois, na refração, a frequência não se altera (pois depende apenas da fonte).

Assim, a diferença $λ_{2} - λ_{1}$ é dada por:

$λ_{2} - λ_{1} = \frac{2 900}{0, 3} - \frac{2 600}{0, 3} = \frac{300}{0, 3} \Rightarrow λ_{2} - λ_{1} = 1 000 m$

c. A partir da lei de Snell, pode-se determinar a velocidade na camada 2 ( $v_{2}$ ):

$\frac{sen (θ_{1})}{ν_{1}} = \frac{sen (θ_{2})}{ν_{2}} \Rightarrow \frac{0, 26}{700} = \frac{0, 52}{ν_{2}} \Rightarrow ν_{2} = \frac{0, 52 \cdot 700}{0, 26} \Rightarrow ν_{2} = 1 400 m / s$

Portanto, com base nos dados da tabela, conclui-se que o material da camada 2 é o arenito.

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