Dissertativa 20 - Dia 2 - Unifesp 2026

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Questão 20

Dissertativa

Um quadrado ABCD foi dividido em dois retângulos, em um quadrado $Q_{1}$ e em um quadrado $Q_{2}$ , tal que a diagonal AC do quadrado passe pelo vértice em comum de $Q_{1}$ e $Q_{2}$ , conforme a figura.

a) Se a área do quadrado $Q_{2}$ for o dobro da área do quadrado $Q_{1}$ , qual será o valor de $tg α$ ?

b) Se a medida de $α$ for igual a 60º e a área do quadrado $Q_{1}$ for 48 cm², qual será o perímetro do quadrado ABCD?

Resolução:

Para encontrar a tangente de $α$ , sem perca de generalidade, define-se o lado do quadrado como 1 unidade. Sendo o lado do quadrado $Q_{1}$ igual a $x$ , tem-se:

$(1 - x)^{2} = 2 x^{2} \to 1 - x = x \sqrt{2} \to x = \frac{1}{(1 + \sqrt{2})} \to x = \sqrt{2} - 1$

No triângulo retângulo onde o ângulo $α$ está inserido, tem-se:

$tg (α) = \frac{(1 - x)}{x} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} tg (α) = \sqrt{2}$

No quadrado $Q_{1}$ , tem-se:

$x^{2} = 48 cm ² \to x = 4 \sqrt{3} cm$

No triângulo retângulo onde o ângulo $α$ está inserido, tem-se:

$tg (α) = \frac{y}{x} \to \sqrt{3} = \frac{y}{4 \sqrt{3}} \to y = 12 cm$

Portanto:

${Perímetro}_{ABCD} = 4 (x + y) = 4 (4 \sqrt{3} + 12) {Perímetro}_{ABCD} = 48 + 16 \sqrt{3} cm$

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