Dissertativa 16 - Dia 2 - Unifesp 2026

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Questão 16

Dissertativa

Uma caixa contém prismas regulares, todos distintos entre si em relação a quatro características: o material de que são feitos (plástico ou acrílico), sua altura (10 cm, 15 cm, 20 cm ou 25 cm), sua cor (amarela, azul, verde ou vermelha) e o polígono que forma sua base (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono). As arestas das bases desses prismas têm a mesma medida, e a caixa contém prismas com todas as combinações possíveis das características indicadas.

a) Ao se escolher aleatoriamente um desses prismas, qual a probabilidade de ele ser de plástico, mas não ser da cor azul?

b) Dois prismas quaisquer são distintos em uma, duas, três ou quatro características. Por exemplo, o prisma triangular, de 10 cm de altura, vermelho, feito de plástico, tem três características distintas do prisma pentagonal, de 10 cm de altura, azul, feito de acrílico. Determine quantos prismas nessa caixa são distintos em exatamente duas características do prisma heptagonal, de 20 cm de altura, verde, feito de acrílico.

Resolução:

a) Observe que, inicialmente, é necessário determinar o número total de prismas na caixa e, em seguida, identificar quantos atendem aos critérios solicitados. Como a caixa contém todas as combinações possíveis das características apresentadas, pode-se utilizar o princípio fundamental da contagem para determinar o total de sólidos na caixa.

De acordo com o enunciado, os sólidos na caixa contêm as seguintes características:

Material: duas opções (plástico ou acrílico)

Altura: quatro opções (10, 15, 20 ou 25 cm)

Cor: quatro opções (amarela, azul, verde ou vermelha)

Base: cinco opções (triângulo, quadrado, pentágono, hexágono ou heptágono)

Seja n(S) o espaço amostral desse contexto, então, a quantidade total de prismas na caixa é:

$n (S) = 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5 = 160 prismas$ .

A questão solicita a probabilidade de se escolher aleatoriamente um prisma de plástico que não seja de cor azul. Assim, seja n(E) a representação desse evento, observe as seguintes possibilidades:

Material: uma opção (apenas plástico)

Cor: três opções (amarela, verde ou vermelha — exclui-se a azul)

Altura: quatro opções (todas as disponíveis)

Base: cinco opções (todas as disponíveis)

Utilizando novamente o princípio fundamental da contagem, tem-se que: $n (E) = 1 x 3 x 4 x 5 = 60 prismas .$

Então, conclui-se que a probabilidade (P) solicitada é:

$P = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{60}{160} = \frac{3}{8} = 0, 375 = 37, 5 %$

Portanto, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, na caixa um prisma de plástico que não seja de cor azul é de 37,5%.

b) Para solucionar esse caso, é necessário determinar a quantidade de prismas que possuem exatamente duas características diferentes do prisma de referência e, consequentemente, duas características iguais a ele. De acordo com o enunciado, o prisma de referência tem a base no formato de um heptágono, 20 cm de altura, cor verde e material de acrílico. Observe que, para cada uma dessas características, o número de opções diferentes da referência é:

Base: quatro opções (Triângulo, Quadrado, Pentágono, Hexágono)

Altura: três opções (10 cm, 15 cm, 25 cm)

Cor: três opções (Amarela, Azul, Vermelha)

Material: uma opção (Plástico)

Como se desejam exatamente duas características diferentes com relação ao prisma de referência, observe que há $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 6$ combinações possíveis de duas características para mudar. Desse modo, calcula-se o número de prismas para cada caso, garantindo que as outras duas características permaneçam iguais às da referência:

Características que mudam	Quantidade de opções de diferença	Total
Base e Altura	$4 \cdot 3$	12
Base e Cor	$4 \cdot 3$	12
Base e Material	$4 \cdot 1$	4
Altura e Cor	$3 \cdot 3$	9
Altura e Material	$3 \cdot 1$	3
Cor e Material	$3 \cdot 1$	3

Somando todos os casos possíveis encontrados no quadro, tem-se:

$12 + 12 + 4 + 9 + 3 + 3 = 43$

Portanto, existem 43 prismas na caixa que são distintos em exatamente duas características do prisma de referência.

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