Dissertativa 18 - Dia 2 - Unifesp 2026

a) Sendo x = 9 cm, por semelhança de triângulos entre APQ e TQR, tem-se:

$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{QT}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}} \Rightarrow \frac{9}{\mathrm{QT}}=\frac{10}{12}\Rightarrow \mathrm{QT} = \frac{9 ·12}{10}=10,8 \mathrm{cm}$

Portanto, como QT = AB, conclui-se que, nessa situação, a área do quadrado ABCD é igual a (10,8)² = $116,64 {\mathrm{cm}}^2$.

b) Como os segmentos $\overline{\mathrm{PB}}$ , $\overline{\mathrm{QT}}$ e $\overline{\mathrm{DS}}$ são paralelos entre si e são interceptados pelo segmento transversal $\overline{\mathrm{PS}}$, infere-se que med( $\mathrm{A}\hat{\mathrm{P}}\mathrm{Q}$) = med($\mathrm{T}\hat{\mathrm{Q}}\mathrm{R}$) = med($\mathrm{R}\hat{\mathrm{S}}\mathrm{C}$) = θ.

Assim, sendo L a medida do lado do quadrado ABCD, como QT = AB = L, tem-se:

L = 12 · cos(θ)

Como os segmentos $\overline{\mathrm{AB}}$ e $\overline{\mathrm{QT}}$ são paralelos, AQ = BT. Assim, sendo RS = y = 14 cm, a medida do lado $\overline{\mathrm{BC}}$ do quadrado ABCD pode ser expressa por:

BC = L = BT + TR + RC ⇒ L = 10 · sen(θ) + 12 · sen(θ) + 14 · sen(θ) ⇒ L = 36 · sen(θ)

Ao igualar as duas equações obtidas para o valor de L, tem-se:

12 · cos(θ) = 36 · sen(θ) ⇒ $\frac{\mathrm{sen} \left(\mathrm{\theta }\right)}{\cos \left(\mathrm{\theta }\right)}=\frac{12}{36}$ ⇒ tg(θ) = $\frac{1}{3}$

Como a tangente de um ângulo interno em um triângulo retângulo corresponde à razão entre as medidas de seus catetos, pode-se considerar θ um ângulo interno do triângulo retângulo mostrado a seguir.

Nesse triângulo, a medida x da hipotenusa é dada, em centímetro, por:

x² = 1² + 3² ⇒ x = $\sqrt{10}$ cm

Logo, o seno e o cosseno de θ são dados por:

sen(θ) = $\frac{1}{\sqrt{10}}$

cos(θ) = $\frac{3}{\sqrt{10}}$

A área do triângulo QRT é expressa por:

${\mathrm{Área}}_{\mathrm{QRT}}=\frac{\mathrm{QT} ·\mathrm{RT}}{2}$

Desse modo, como QT = 12 · cos(θ) e RT = 12 · sen(θ), tem-se:

${\mathrm{Área}}_{\mathrm{QRT}}\frac{\left[12 ·\cos \left(\mathrm{\theta }\right)\right] ·\left[12 ·\mathrm{sen} \left(\mathrm{\theta }\right)\right]}{2}\Rightarrow {\mathrm{Área}}_{\mathrm{QRT}}= \frac{12·{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}}·12·{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}}{2}\Rightarrow {\mathrm{Área}}_{\mathrm{QRT}}= \frac{432}{10}·\frac{1}{2}\Rightarrow {\mathrm{Área}}_{\mathrm{QRT}}=\frac{216}{10}= \boxed{21,6 {\mathrm{cm}}^2}$