Dissertativas 20 - Dia 2 - Unifesp 2025

a) O enunciado afirma que $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\frac{2}{\mathrm{sen\theta }}-\frac{{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}$, sendo $0º<\mathrm{\theta }<180º$. Para solucionar o problema, deve-se mostrar que $\frac{2}{\mathrm{sen\theta }}-\frac{{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}=\mathrm{sen\theta }+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}$.

Observe que $\frac{2}{\mathrm{sen\theta }}-\frac{{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}=\frac{2-{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}$. A identidade fundamental da trigonometria afirma que ${\mathrm{sen}}^2\mathrm{\theta }+{\cos }^2\mathrm{\theta }=1$, ou seja, ${\cos }^2\mathrm{\theta }=1-{\mathrm{sen}}^2\mathrm{\theta }$. Realizando a substituição em $\frac{2-{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}$, encontra-se:

$\frac{2-{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}=\frac{2-\left(1-{\mathrm{sen}}^2\mathrm{\theta }\right)}{\mathrm{sen\theta }}=\frac{1+{\mathrm{sen}}^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}$

Separando a fração encontrada em duas frações, tem-se:

$\frac{1+{\mathrm{sen}}^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}=\frac{{\mathrm{sen}}^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}=\mathrm{sen\theta }+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}$

Portanto, $\frac{2}{\mathrm{sen\theta }}-\frac{{\cos }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{sen\theta }}=\mathrm{sen\theta }+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}$, provando que $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)$ é igual a $\mathrm{sen\theta }+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}$.

b) O comando desse item solicita que considere apenas as informações apresentadas no gráfico. De acordo com a imagem, $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\mathrm{sen\theta }$. Além disso, a análise gráfica mostra que $0<\mathrm{\theta }<3\mathrm{\pi }$. Então, nesse intervalo, por definição, $-1\le \mathrm{sen\theta }\le 1$.

Portanto, considerando apenas as informações presentes no gráfico, o menor valor de $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)$ é -1.

Observação 1: Se fosse considerado o intervalo $0º<\mathrm{\theta }<180º$, conforme foi apresentado no enunciado da questão, o menor valor de $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\sin \left(\mathrm{\theta }\right)$ seria 0.

Observação 2: Se fosse considerado $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\mathrm{sen\theta }+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}$, conforme foi provado no item (a), e considerando o intervalo $0º<\mathrm{\theta }<180º$, conforme foi apresentado no enunciado da questão, o menor valor de $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)$ seria 2.

Observação 3: Se fosse considerado $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\mathrm{sen\theta }+\frac{1}{\mathrm{sen\theta }}$, conforme foi provado no item (a), e considerando o intervalo $0<\mathrm{\theta }<3\mathrm{\pi }$, conforme analisado no gráfico, não seria possível determinar o menor valor de $\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)$, pois a função tende a $-\infty$ quando $\mathrm{\theta }$ se aproxima de $2\mathrm{\pi }$.