Dissertativas 17 - Dia 2 - Unifesp 2025

a) Observe a figura a seguir, em que A e B são vértices de um retângulo de diagonal SP =  2 m e C e D são vértices de um retângulo de diagonal NI = 2 m:

Como $\mathrm{med}\left(\mathrm{A}\hat{\mathrm{S}}\mathrm{P}\right)=45°$ e $\mathrm{med}\left(\mathrm{D}\hat{\mathrm{N}}\mathrm{I}\right)=45°$, infere-se que os quadriláteros APBS e CNDI são quadrados. Dado que a diagonal de um quadrado de lado x mede $\mathrm{x}\sqrt{2}$, infere-se que ambos os quadrados indicados têm lados cuja medida é dada por:

 $\mathrm{x}\sqrt{2}=2\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{2}{\sqrt{2}}·\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{2} \mathrm{m}$

Pela imagem, UN + CI + IF = AS + SE. Logo:

6 + $\sqrt{2}$ + 1 =  $\sqrt{2}$ + SE $\Rightarrow \boxed{\mathrm{SE} = 7 \mathrm{m}}$ 

Pela imagem, DI + FE = UP + PA. Logo:

$\sqrt{2}$ + FE = 6 + $\sqrt{2}$ $\Rightarrow \boxed{\mathrm{FE} = 6 \mathrm{m}}$ 

 

b) Na figura a seguir, a área da base do lago corresponde à área do retângulo AUGE subtraída das áreas do triângulo ASP e do trapézio FING.

Logo:

$$\begin{gathered} {\mathrm{Área}}_{\mathrm{Lago}}=\left[\left(6+\sqrt{2}\right)·\left(7+\sqrt{2}\right)\right]-\left(\frac{\sqrt{2}·\sqrt{2}}{2}\right)-\left[\frac{\left(1+1+\sqrt{2}\right)·\sqrt{2}}{2}\right]\Rightarrow \\ \Rightarrow {\mathrm{Área}}_{\mathrm{Lago}}=\left(42+6\sqrt{2}+7\sqrt{2}+2\right)-1-\sqrt{2}-1\Rightarrow \\ \Rightarrow {\mathrm{Área}}_{\mathrm{Lago}}=44+13\sqrt{2}-2-\sqrt{2}\Rightarrow {\mathrm{Área}}_{\mathrm{Lago}}=42+12\sqrt{2} {\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$

Como o volume do prisma é dado pelo produto entre a área da base do lago e a altura do mesmo, tem-se:

$\left(42+12\sqrt{2}\right)·\mathrm{h}=7+2\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{7+2\sqrt{2}}{6·\left(7+2\sqrt{2}\right)}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{1}{6}\cong 0,1666\dots \mathrm{m}$

Portanto, a altura do lago vale, aproximadamente, $\boxed{\mathrm{h}\cong 16,7 \mathrm{cm}}$.