Questão 17 - 1ª Fase - ITA 2027

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Química
1. 25A
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3. 27C
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Inglês
1. 37D
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Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 17

Objetiva

Na missão Artemis II, a espaçonave Orion realiza uma trajetória de ida à Lua. Em um modelo simplificado, após uma manobra de injeção translunar, a nave parte de uma órbita baixa em torno da Terra com velocidade $v_{0}$ , dirigida exatamente ao longo da reta Terra-Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é igual a $D$ , e a massa da Lua é aproximadamente 81 vezes menor que a massa $M$ da Terra. Assuma o raio da Terra dado por $R$ e despreze tanto efeitos devido ao movimento da Terra e da Lua, bem como a altura orbital da nave antes da injeção translunar.

Assinale a alternativa que corresponde ao valor de velocidade $v_{0}$ acima da qual a nave consegue chegar à Lua.

Alternativas

A
$\sqrt{2 G M [(\frac{1}{R} - \frac{10}{9 D}) + \frac{1}{81} (\frac{1}{D + R} + \frac{10}{D})]}$
B
$\sqrt{2 G M [(\frac{1}{R} + \frac{10}{9 D}) + \frac{1}{81} (\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D})]}$
C
$\sqrt{2 G M [(\frac{1}{R} - \frac{10}{9 D}) + \frac{1}{81} (\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D})]}$
D
$\sqrt{2 G M [(\frac{1}{R} - \frac{10}{9 D}) - \frac{1}{81} (\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D})]}$
E
$\sqrt{2 G M [(\frac{1}{R} + \frac{10}{9 D}) - \frac{1}{81} (\frac{1}{D + R} - \frac{10}{D})]}$

Gabarito:
C

Ao longo da reta Terra–Lua existe um ponto P em que as atrações da Terra e da Lua se cancelam. Sendo x a distância de P ao centro da Terra:

$\frac{GM}{x^{2}} = \frac{\frac{GM}{81}}{{(D - x)}^{2}} \Rightarrow \frac{D - x}{x} = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \frac{9 D}{10}$

Antes de P, a resultante gravitacional aponta para a Terra e freia a nave; depois de P, aponta para a Lua e acelera. Portanto, basta que a nave chegue a P com velocidade nula.

Conservação da energia entre a partida (distância R da Terra e $D - R$ da Lua) e o ponto P (distância $\frac{9 D}{10}$ da Terra e $\frac{D}{10}$ da Lua):

$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2} - \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{81 (D - R)} = 0 - \frac{GMm}{\frac{9 D}{10}} - \frac{GMm}{81 \cdot \frac{D}{10}} \frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{GM}{R} - \frac{10 GM}{9 D} + \frac{GM}{81} (\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D})$

Portanto:

$v_{0} = \sqrt{2 GM [(\frac{1}{R} - \frac{10}{9 D}) + \frac{1}{81} (\frac{1}{D - R} - \frac{10}{D})]}$

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