Questão 3 - 1ª Fase - ITA 2027

Caso se escolha $\overline{\mathrm{AB}}$ como base do triângulo, para maximizar a área do triângulo ABC, deve-se maximizar a altura. Com essa intenção, deve-se escolher C como o ponto da circunferência mais distante de $\overline{\mathrm{AB}}$, que é a intersecção mais distante da reta t, perpendicular a $\overline{\mathrm{AB}}$, que passa pelo centro da circunferência, conforme a figura.

(i) Equação de t:

$$\begin{gathered} {\mathrm{m}}_{\overline{\mathrm{t}}}= -\frac{1}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{AB}}} = -\left(\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}} - {\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}} - {\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}}\right) = -\left(\frac{2 - 0}{4 - 0}\right) = -\frac{1}{2} \\ \mathrm{y} - 0 = -\frac{1}{2}\left(\mathrm{x} - 4\right) \iff \mathrm{x} = 4 - 2\mathrm{y} (*) \end{gathered}$$

(ii) Equação da circunferência $\left(\lambda \right)$:

${\left(\mathrm{x} - 4\right)}^2 + {\mathrm{y}}^2 = 2^2 \iff {\mathrm{x}}^2 +\hspace{0.17em}{\mathrm{y}}^2 - 8\mathrm{x} + 12 = 0$

(iii) Substituindo (*) em $\left(\mathrm{\lambda }\right)$:

${\left(4 - 2\mathrm{y}\right)}^2 + {\mathrm{y}}^2 - 8\left(4 - 2\mathrm{y}\right) + 12 = 0 \iff \mathrm{y} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Para obter o ponto C mais distante, deve-se escolher $\mathrm{y} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Substituindo em (*):

$\mathrm{x} = 4 - 2 · \left(-2\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = 4 + 4\frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \mathrm{C} = \left(4 + 4\frac{\sqrt{5}}{5}; -2\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

(iv) Cálculo da área do triângulo ABC:

$\mathrm{S} = \left|\begin{array}{cccc}0& 4+\frac{4\sqrt{5}}{5}& 2& 0\\ 0& -\frac{2\sqrt{5}}{5}& 4& 0\end{array}\right| = 16 + 16\frac{\sqrt{5}}{5} + 4\frac{\sqrt{5}}{5} = 16 + 4\sqrt{5}$

Finalmente:

$\boxed{\left[\mathrm{ABC}\right] = \frac{\left|\mathrm{S}\right|}{2} = 8 + 2\sqrt{5}}$