Questão 20 - 1ª Fase - ITA 2027

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Química
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ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 20

Objetiva

Uma explosão controlada ocorre no solo $30 m$ de um prédio de altura $H = 40 m$ sobre o qual se encontra um engenheiro que mede o intervalo de tempo $∆ t$ desde a detecção da luz da explosão até a detecção sonora, usando um aparato especial que ele mesmo desenvolveu. Considere $c_{0}$ a velocidade do som a $T_{0} = 273, 15 K$ , $T_{1}$ a temperatura do ar desde o solo até a altura h e $T_{2}$ a temperatura do ar desde a mesma altura até o topo do prédio. Ambas as temperaturas são expressas em Kelvin e $T_{2} > T_{1} > T_{0}$ .

Assine uma alternativa que corresponda à fórmula que forneça uma altura de inversão térmica h . Use uma aproximação $sen (θ + ∆ θ) \approx sen (θ)$ para $∆ θ ≪ θ$ .

Alternativas

A
$\sqrt{\frac{T_{1} T_{2}}{T_{0}}} (1, 25 c_{0} ∆ t - H \sqrt{\frac{T_{0}}{T_{2}}}) (\frac{1}{\sqrt{T_{2}} - \sqrt{T_{1}}})$ .
B
$\sqrt{\frac{T_{1} T_{2}}{T_{0}}} (1, 25 c_{0} ∆ t - H \sqrt{\frac{T_{0}}{T_{2}}}) (\frac{1}{\sqrt{T_{2}} + \sqrt{T_{1}}})$ .
C
$\sqrt{\frac{T_{1} T_{2}}{T_{0}}} (0, 8 c_{0} ∆ t - H \sqrt{\frac{T_{0}}{T_{2}}}) (\frac{1}{\sqrt{T_{2}} + \sqrt{T_{1}}})$ .
D
$\sqrt{\frac{T_{1} T_{2}}{T_{0}}} (0, 8 c_{0} ∆ t - H \sqrt{\frac{T_{0}}{T_{2}}}) (\frac{1}{\sqrt{T_{2}} - \sqrt{T_{1}}})$ .
E
$\sqrt{\frac{T_{1} T_{2}}{T_{0}}} (1, 25 c_{0} ∆ t + H \sqrt{\frac{T_{0}}{T_{2}}}) (\frac{1}{\sqrt{T_{2}} - \sqrt{T_{1}}})$ .

Gabarito:
D

O som percorre $l_{1}$ com velocidade $v_{1}$ e $l_{2}$ com velocidade $v_{2}$ :

$∆ t = \frac{l_{1}}{v_{1}} + \frac{l_{2}}{v_{2}}$

Para gases ideais, a relação entre velocidade e temperatura é tal que:

$\frac{v_{1}}{\sqrt{T_{1}}} = \frac{v_{2}}{\sqrt{T_{2}}} = \frac{c_{0}}{\sqrt{T_{0}}}$

Da figura:

$\frac{l_{1}}{h} = \frac{l_{1}}{H - h} = \frac{l}{H} = \frac{\sqrt{D^{2} + H^{2}}}{H}$

$∴ l_{1} = \frac{h \sqrt{D^{2} + H^{2}}}{H}$ e $l_{2} = \frac{(H - h) \sqrt{D^{2} + h^{2}}}{H}$

Assim:

$∆ t = \frac{\sqrt{T_{0}}}{c_{0} \sqrt{T_{1}}} \cdot \frac{h \sqrt{D^{2} + H^{2}}}{H} + \frac{\sqrt{T_{0}}}{c_{0} \sqrt{T_{2}}} \frac{(H - h) \sqrt{D^{2} + H^{2}}}{H} \frac{c_{0} ∆ t H}{\sqrt{T_{0}} \sqrt{D^{2} + H^{2}}} = \frac{h}{\sqrt{T_{1}}} + \frac{(H - h)}{\sqrt{T_{2}}}$

Com $D = 30 m$ e $H = 40 m$

$\frac{4 c_{0} ∆ t}{5 \sqrt{T_{0}}} = \frac{h}{\sqrt{T_{1}}} + \frac{(H - h)}{\sqrt{T_{2}}}$

$h = \sqrt{\frac{T_{1} T_{2}}{T_{0}}} (0, 8 c_{0} ∆ t - H \sqrt{\frac{T_{0}}{T_{2}}}) \frac{1}{\sqrt{T_{2}} - \sqrt{T_{1}}}$

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