Questão 14 - 1ª Fase - ITA 2027

Os centros distam $3\mathrm{R}$ e a diferença de alturas entre eles é $\mathrm{R}$. Sendo $\mathrm{\theta }$ o ângulo da reta dos centros com a horizontal:

$\mathrm{sen\theta }=\frac{\mathrm{R}}{3\mathrm{R}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \mathrm{cos\theta }=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Isolando a esfera menor:

Torques em relação ao centro da esfera menor:

$\mathrm{F}\frac{\mathrm{R}}{2}={\mathrm{f}}_1\mathrm{R} + {\mathrm{f}}_2\mathrm{R}\Rightarrow {\mathrm{f}}_1+{\mathrm{f}}_2=\frac{\mathrm{F}}{2}$ (I)

Equilíbrio horizontal:

$\mathrm{F} + {\mathrm{f}}_1={\mathrm{N}}_2\mathrm{cos\theta } + {\mathrm{f}}_2\mathrm{sen\theta }$ (II)

Equilíbrio vertical:

${\mathrm{N}}_1+ {\mathrm{f}}_2 \mathrm{cos\theta }=\mathrm{mg} + {\mathrm{N}}_{2 }\mathrm{sen\theta }$ (III)

Como $\mathrm{F}$ cresce gradualmente, o repouso deixa de ser possível quando os dois atritos atingem o valor máximo (se apenas um contato estivesse no limite,  outro ainda absorveria um acréscimo de $\mathrm{F}$).

Fazendo ${\mathrm{f}}_1={\mathrm{\mu N}}_1$ e ${\mathrm{f}}_2={\mathrm{\mu N}}_2$, com $\mathrm{\mu }=\raisebox{1ex}{$\sqrt{2}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$8$}\right.$:

De (I):

$\mathrm{\mu }\left({\mathrm{N}}_1+ {\mathrm{N}}_2\right)=\frac{\mathrm{F}}{2}\Rightarrow {\mathrm{N}}_1+ {\mathrm{N}}_2= 2\sqrt{2}\mathrm{F} \left(\mathrm{IV}\right)$

De (III):

${\mathrm{N}}_1=\mathrm{mg}+{\mathrm{N}}_2\left(\mathrm{sen\theta }-\mathrm{\mu cos\theta }\right)=\mathrm{mg} + {\mathrm{N}}_2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\Rightarrow {\mathrm{N}}_1=\mathrm{mg} + \frac{{\mathrm{N}}_2}{6}$(V)

De (II):

$\mathrm{F}={\mathrm{N}}_2\left(\mathrm{cos\theta } + \mathrm{\mu sen\theta }\right)-{\mathrm{\mu N}}_1\Rightarrow \mathrm{F}=\frac{17\sqrt{2}}{24}{\mathrm{N}}_2-\frac{\sqrt{2}}{8}{\mathrm{N}}_1$ (VI)

Substituindo (IV) em (VI):

$\mathrm{F}=\frac{17\sqrt{2}}{24}{\mathrm{N}}_2-\frac{\sqrt{2}}{8}\left(2\sqrt{2} \mathrm{F}-{\mathrm{N}}_2\right)=\frac{20\sqrt{2}}{24}{\mathrm{N}}_2-\frac{\mathrm{F}}{2}\Rightarrow {\mathrm{N}}_2=\frac{9\sqrt{2}}{10}\mathrm{F}$

De (IV) e (V):

$2\sqrt{2}\mathrm{F}-{\mathrm{N}}_2=\mathrm{mg} + \frac{{\mathrm{N}}_2}{6}\Rightarrow 2\sqrt{2}\mathrm{F}-\mathrm{mg}=\frac{7}{6}·\frac{9\sqrt{2}}{10}\mathrm{F}=\frac{21\sqrt{2}}{20}\mathrm{F}\Rightarrow \boxed{{\mathrm{F}}_{\mathrm{máx}}=\frac{10\sqrt{2}}{19}\mathrm{mg}}$