Questão 8 - 1ª Fase - ITA 2027

Afirmação I: falsa. Repare que a função identidade $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}$ satisfaz a condição do problema e não é uma função constante.

Afirmação II: verdadeira. Sejam a, b reais, tais que 

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\right) \\ 2\mathrm{a}-7=2\mathrm{b}-7 \\ \mathrm{a}=\mathrm{b} \end{gathered}$$

Desse modo, $\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{b}$, portanto, f é injetora.

Além disso, $\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=2\mathrm{x}-7$ é uma função sobrejetora.

Portanto, $\forall \mathrm{z} \in \mathrm{ℝ}$, existe $x \in \mathrm{ℝ}$ tal que $\mathrm{z}=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)$.

Também, $\forall x \in \mathrm{ℝ}$, existe $\mathrm{y} \in \mathrm{ℝ}$ tal que $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$.

Assim, das duas afirmações anteriores, $\forall \mathrm{z} \in \mathrm{ℝ}$, existe $\mathrm{y} \in \mathrm{ℝ}$ tal que $\mathrm{z}=\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$.

Desse modo, f é função sobrejetora.

Sendo assim, como f é injetora e sobrejetora, então f é bijetora.

 

Afirmação III: verdadeira. Tem-se que $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{f}\left(-\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+1$.

Fazendo $\mathrm{x}\leftarrow -\mathrm{x}: \mathrm{f}\left(-\mathrm{x}\right)+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{x}+1$

A partir das duas equações anteriores:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{x}+\frac{1}{3}$

Portanto, f é uma função afim.

Por fim, são verdadeiras apenas II e III.