Questão 12 - 1ª Fase - ITA 2027

Os possíveis restos de um inteiro não múltiplo de 5 por 5 são 1, 2, 3, 4. 

Desse modo, sejam ${\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_2, {\mathrm{x}}_3, {\mathrm{x}}_4$ inteiros as raízes. Assim:

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\equiv \left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_3\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_4\right)$

Para que todo inteiro n que não seja múltiplo de 5 satisfaça $\mathrm{p}\left(\mathrm{n}\right)$ múltiplo de 5, devemos ter que ${\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_2, {\mathrm{x}}_3, {\mathrm{x}}_4$ sejam inteiros que deixem em alguma ordem restos 1, 2, 3 e 4 na divisão por 5. 

Além disso, por Girard, temos que:

${\mathrm{x}}_1·{\mathrm{x}}_2·{\mathrm{x}}_3·{\mathrm{x}}_4=-21$

Desse modo, uma possibilidade é: 

${\mathrm{x}}_1=1$ (deixa resto 1 na divisão por 5).

${\mathrm{x}}_2=-1$ (deixa resto 4 na divisão por 5).

${\mathrm{x}}_3=3$ (deixa resto 3 na divisão por 5).

${\mathrm{x}}_4=7$ (deixa resto 2 na divisão por 5).

Então:

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-7\right)$

satisfaz a condição do problema. 

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^4-10{\mathrm{x}}^3+20{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-21$

Então: 

${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2=100+400+100=\boxed{600}$