Questão 11 - 1ª Fase - ITA 2027

No tetraedro ABCD, sejam as arestas $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=\sqrt{3}$ e $\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=2$.

Seja M o ponto médio de BC. Nos triângulos AMC e DMC: 

${\mathrm{AM}}^2={\mathrm{DM}}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2=2\Rightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{DM}=\sqrt{2}$

Seja o triângulo ADM e N o ponto médio de AD. 

${\mathrm{MN}}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2=1$

A altura h do tetraedro também é a altura do triângulo ADM. Assim:

$\mathrm{AM}·\mathrm{h}=\mathrm{AD}·\mathrm{MN}\leftrightarrow \sqrt{2}·\mathrm{h}=2·1\leftrightarrow \mathrm{h}=\sqrt{2}$

A área do triângulo ABC (base) é: 

$\left[\mathrm{ABC}\right]=\frac{\mathrm{BC}·\mathrm{AM}}{2}=\frac{2·\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Sendo V o volume do tetraedro, tem-se: 

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}·\left[\mathrm{ABC}\right]·\mathrm{h}=\frac{1}{3}·\sqrt{2}·\sqrt{2}=\frac{2}{3}$