Dissertativa 1 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

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Questão 1

Dissertativa

Em um laboratório de engenharia de materiais, um aparato similar a um pêndulo invertido é utilizado para ensaiar a rigidez torcional de corpos de prova poliméricos cilíndricos. O sistema consiste em uma haste rígida e homogênea de massa M e comprimento L, firmemente acoplada em sua extremidade inferior ao centro do corpo de prova polimérico, o qual permanece fixo em seus mancais e atua como uma mola torcional. Quando a haste sofre uma deflexão angular $θ$ em relacão à vertical, o material polimérico torce e exerce um torque restaurador de natureza elástica $τ_{e} = - k θ$ , em que k é a constante de rigidez torcional efetiva do corpo de prova. Durante o ensaio contínuo, a haste é inicialmente posicionada na vertical ( $θ$ = 0), e uma câmara térmica no entorno do polímero eleva lentamente sua temperatura. Sabe-se que, ao se aproximar da transição vítrea, a rigidez k do polímero diminui gradativamente. Sabendo que a aceleração da gravidade local é g, responda aos itens a seguir

a) Determine a rigidez torcional crítica $k_{c}$ do polímero em função de M, g e L, sabendo que a posição $θ$ = 0 deixa de ser um ponto de equilíbrio estável para $k < k_{c}$ .

b) Identifique a quantidade e natureza dos pontos de equilíbrio do sistema (estável e/ou instável) de acordo com os possíveis valores de $\frac{k}{k_{c}} > 0$ no intervalo $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ .
c) Tomando o mancal inferior como referência zero de altura para a energia gravitacional, esboce os possíveis gráficos representativos da energia potencial total do sistema $(U_{t o t a l})$ em função do ângulo $θ$ , no intervalo $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ , de acordo com as situações identificadas no item b.

Resolução:

Deslocada de um ângulo $θ$ pequeno, a haste sofre dois torques em relação ao mancal: o do peso e o do polímero.

Torque resultante, assumindo como positivo o sentido horário (crescimento de no enunciado):

$τ = + Mg \frac{L}{2} sen θ - kθ \Rightarrow τ \approx Mg \frac{L}{2} θ - kθ \Rightarrow τ \approx (Mg \frac{L}{2} - k) θ$

Para que o torque seja restaurador:

$(Mg \frac{L}{2} - k) < 0 \Rightarrow k > Mg \frac{L}{2}$

Portanto:

$k_{c} = \frac{MgL}{2}$

O estado de equilíbrio da barra depende da competição entre o torque do peso, de módulo $k_{c} sen θ$ , e o torque do polímero, de módulo $kθ$ . Como a situação é simétrica em relação à posição vertical ( $θ = 0$ ), é suposto $0 \leq θ \leq π / 2$ .

Condição para o torque do polímero ganhar:

$kθ \geq k_{c} sen θ \Leftrightarrow \frac{k}{k_{c}} θ \geq sen θ$

Seguem as comparações entre as funções $f (θ) = \frac{k}{k_{c}} θ$ e $g (θ) = sen (θ)$ .

Para $\frac{k}{k_{c}} \geq 1$ , após o encontro na origem, $f (θ)$ está sempre acima de $g (θ)$ . Deste modo, o torque do polímero domina e $θ = 0$ é um ponto de equilíbrio estável.

Para que o torque do polímero seja sempre inferior ao do peso, os gráficos só podem se encontrar na origem e no extremo $θ = π / 2$ . Isso ocorre pela primeira vez em: $\frac{k}{k_{c}} \cdot \frac{π}{2} = sen (\frac{π}{2}) \Rightarrow \frac{k}{k_{c}} = \frac{2}{π}$ . Portanto, para $\frac{k}{k_{c}} \leq \frac{2}{π}$ , $θ = 0$ é um ponto de equilíbrio instável.

Finalmente, para $\frac{2}{π} < \frac{k}{k_{c}} < 1$ , os gráficos se cruzam em algum ângulo intermediário $θ$ . Nesse caso, na vizinhança da origem, o torque do peso prevalece, configurando $θ = 0$ como ponto de equilíbrio instável. E, na vizinhança de $θ_{0}$ , a haste é sempre empurrada para $θ = θ_{0}$ , tornando $θ = θ_{0}$ um ponto de equilíbrio estável.

Sendo assim, voltando para o intervalo completo $- π / 2 < θ < π / 2$ :

Para $\frac{k}{k_{c}} \geq 1$ : há um único ponto de equilíbrio ( $θ = 0$ ), e ele é estável.

Para $\frac{2}{π} < \frac{k}{k_{c}} < 1$ : há três pontos de equilíbrio, sendo um instável ( $θ = 0$ ) e dois estáveis ( $θ = \pm θ_{0}$ ).

Para $\frac{k}{k_{c}} \leq \frac{2}{π}$ : há um único ponto de equilíbrio, e ele é instável ( $θ = 0$ ).

A energia potencial total $U$ será a soma da energia potencial gravitacional e da energia potencial do torque restaurador, que pode ser construída em analogia a uma energia potencial elástica. Com o centro de massa da barra a uma altura $\frac{L}{2} cosθ$ :

$U (θ) = Mg \frac{L}{2} cosθ + \frac{{kθ}^{2}}{2}$

Em pontos de equilíbrio estável, a função energia potencial atinge um mínimo local.

Em pontos de equilíbrio instável, a função energia potencial atinge um máximo local.

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