Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

Velocidade inicial em x (horizontal): $\mathrm{Vcos} \mathrm{\theta }$

Velocidade inicial em y (vertical): $\mathrm{Vsen} \mathrm{\theta }$

Altura máxima (h) em função da velocidade inicial vertical (u):

$\mathrm{mgh}=\frac{{\mathrm{mu}}^2}{2}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{{\mathrm{u}}^2}{2\mathrm{g}}$

Tempo entre um choque e o seguinte: 

$\mathrm{t}=\frac{2\mathrm{u}}{\mathrm{g}}$

Velocidade vertical (w) imediatamente após um choque com velocidade vertical u:

$\mathrm{w}=\mathrm{e}·\mathrm{u}$

a) Logo, se a velocidade vertical inicial vale $\mathrm{Vsen} \mathrm{\theta }$, após o 1º choque, a velocidade vertical será: $\mathrm{eVsen\theta }$.

Após o segundo choque: ${\mathrm{e}}^2\mathrm{Vsen\theta }$

Após o n-ésimo choque: ${\mathrm{e}}^{\mathrm{n}}\mathrm{Vsen\theta }$

Portanto, a altura máxima após n choques é dada por:

$\mathrm{h}=\frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{n}}\mathrm{Vsen\theta }\right)}^2}{2\mathrm{g}}$

Com os dados do exercício:

$$\begin{gathered} \mathrm{h}=\frac{{\left(0,7^{\mathrm{n}}\mathrm{Vsen}30°\right)}^2}{2\mathrm{g}}=\frac{0,7^{2\mathrm{n}}{\mathrm{V}}^2{\left(0,5\right)}^2}{2\mathrm{g}} \\ \boxed{\mathrm{h}=\frac{0,7^{2\mathrm{n}}{\mathrm{V}}^2}{8\mathrm{g}}} \end{gathered}$$

b) Como a horizontal é lisa, não há perda de velocidade horizontal em cada colisão.

Assim, o valor mínimo de energia será alcançado após muitos choques, quando a massa terá perdido sua velocidade vertical.

O tempo entre o lançamento inicial e o primeiro choque é:

${\mathrm{t}}_1=\frac{2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}$

O tempo entre o primeiro choque e o segundo choque é:

${\mathrm{t}}_2=\frac{\mathrm{e}·2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}$

O tempo entre o segundo choque e o terceiro choque é:

${\mathrm{t}}_3=\frac{{\mathrm{e}}^2·2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}$

Após uma quantidade muito grande de choques, o tempo total desde o lançamento será dado por:

$$\begin{gathered} \mathrm{T}=\frac{2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}+\frac{\mathrm{e}·2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}+\frac{{\mathrm{e}}^2·2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}+... \\ \mathrm{T}=\frac{2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}·\left(1+\mathrm{e}+{\mathrm{e}}^2+...\right)=\frac{2\mathrm{Vsen\theta }}{\mathrm{g}}·\frac{1}{1-\mathrm{e}} \end{gathered}$$

Com os dados do exercício:

$\mathrm{T}=\frac{2\mathrm{Vsen}30°}{\mathrm{g}}·\frac{1}{1-0,7}=\frac{2\mathrm{V}·0,5}{\mathrm{g}}·\frac{1}{0,3}\Rightarrow \boxed{\mathrm{T}=\frac{10\mathrm{V}}{3\mathrm{g}}}$