Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2027

a) Como os grãos de areia são retirados lentamente em um processo quase estático, podemos considerar o processo adiabático reversível. Logo, podemos utilizar: ${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{\gamma }}={\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\gamma }}$

No início: ${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=\frac{\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{\mathrm{A}}$

No final: ${\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{A}}$

Para gás monoatômico: $\mathrm{\gamma }=5/3$

Logo: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{\gamma }}={\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\gamma }}\Rightarrow \frac{\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{\mathrm{A}}·{\left({\mathrm{Ah}}_{\mathrm{i}}\right)}^{\frac{5}{3}}=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{A}}·{\left({\mathrm{Ah}}_{\mathrm{f}}\right)}^{\frac{5}{3}} \\ \boxed{{\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}={\left(1+\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{m}}\right)}^{\frac{3}{5}}·{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}} \end{gathered}$$

b) A retirada instantânea da areia torna a evolução não quase-estática. O isolamento térmico, por si só, não assegura uma evolução isentrópica do gás (adiabática reversível); portanto, a relação de Poisson não pode ser aplicada sem uma hipótese adicional.

Porém, pela Primeira Lei da Termodinâmica:

$$\begin{gathered} ∆\mathrm{U}=\mathrm{Q}-\mathrm{W}=0-\left(-{\mathrm{W}}_{\mathrm{ext}}\right)\Rightarrow ∆\mathrm{U}=+{\mathrm{W}}_{\mathrm{ext}} \\ \frac{3}{2}·{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}-\frac{3}{2}·{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{mg}\left({\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}-{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}\right) \end{gathered}$$

A pressão inicial continua sendo: ${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}=\frac{\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{\mathrm{A}}$

Mas a pressão final não pode ser calculada por ${\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{A}}$, pois na altura máxima, o pistão não está em equilíbrio de forças, uma vez que ele possui aceleração para baixo. Logo:

$$\begin{gathered} \frac{3}{2}·{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}-\frac{3}{2}·{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{mg}\left({\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}-{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}\right) \\ \frac{3}{2}·{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}·{\mathrm{Ah}}_{\mathrm{f}}-\frac{3}{2}·\frac{\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{\mathrm{A}}·{\mathrm{Ah}}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{mg}\left({\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}-{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}\right) \\ 3{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{Ah}}_{\mathrm{f}}-3\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right){\mathrm{gh}}_{\mathrm{i}}=-2{\mathrm{mgh}}_{\mathrm{f}}+2{\mathrm{mgh}}_{\mathrm{i}} \\ \left(3{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}\mathrm{A}+2\mathrm{mg}\right){\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}=\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right){\mathrm{gh}}_{\mathrm{i}} \end{gathered}$$

Logo, a altura máxima atingida pelo pistão é:

$\boxed{{\mathrm{h}}_{\max }=\frac{\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{3{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}\mathrm{A}+2\mathrm{mg}}·{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}}$

Observação: No item B, o enunciado não fornece informações suficientes para se calcular a pressão final do gás no ponto de altura máxima e, portanto, a resposta não fica somente em função de $\mathrm{m}$, $\mathrm{M}$ e ${\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}$. Duas possíveis interpretações para contornar esse problema seriam:

1) Supor que o processo seja adiabático reversível. Logo:

${\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{\gamma }}={\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\gamma }}\Rightarrow {\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}={\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}{\left(\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}}\right)}^{\mathrm{\gamma }}=\frac{\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{\mathrm{A}}·{\left(\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{h}}_{\mathrm{f}}}\right)}^{\frac{5}{3}}$

Assim, tem-se:

$$\begin{gathered} \left(3{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}} \mathrm{A}+2\mathrm{mg}\right){\mathrm{h}}_{\max }=\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right){\mathrm{gh}}_{\mathrm{i}} \\ \left[3·\frac{\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}}{\mathrm{A}}·{\left(\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{h}}_{\max }}\right)}^{\frac{5}{3}}·A+2\mathrm{mg}\right]{\mathrm{h}}_{\max }=\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right){\mathrm{gh}}_{\mathrm{i}} \\ \boxed{\left[3\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)·{\left(\frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{h}}_{\max }}\right)}^{\frac{5}{3}}+2m\right]{\mathrm{h}}_{\max }=\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right)h_{\mathrm{i}}} \end{gathered}$$

2) Calcular não a máxima altura atingida pelo pistão (que ocorre no primeiro repouso momentâneo), mas, sim, a altura atingida pelo pistão ao entrar permanentemente em repouso após as oscilações. Nesse caso, no final, o pistão está em equilíbrio de forças e pode-se considerar:

$$\begin{gathered} \left(3{\mathrm{p}}_{\mathrm{f}}\mathrm{A}+2\mathrm{mg}\right){\mathrm{h}}_{\mathrm{eq}}=\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right){\mathrm{gh}}_{\mathrm{i}} \\ \left(3\mathrm{mg}+2\mathrm{mg}\right){\mathrm{h}}_{\mathrm{eq}}=\left(3\mathrm{M}+5\mathrm{m}\right){\mathrm{gh}}_{\mathrm{i}} \\ \boxed{{\mathrm{h}}_{\mathrm{eq}}=\left(1+\frac{3\mathrm{M}}{5\mathrm{m}}\right)·{\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}} \end{gathered}$$