Questão 4 - Prova V1 - Fuvest 2026

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia E de um sistema, a saber

$E=-\sum _i P_i\left(x\right) lo{g}_2 P_i\left(x\right)$

em que ${\mathit{P}}_{\mathbf{i}}\left(x\right)$ é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável 𝑥.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha (AA). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é $\frac{1}{2}$. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente $\frac{1}{2}$, e nesse caso tem-se:

$E = -\sum _i P_i\left(x\right) lo{g}_2 P_i\left(x\right) = -\left(\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}\right) = 1$

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas (AAAA), colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é $\frac{1}{2}$. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente $\frac{1}{2}$. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

$E = -\sum _i P_i\left(x\right) lo{g}_2 P_i\left(x\right)$

$= -\left(\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}\right) = 2$

Com base nessas informações, qual o valor da entropia 𝐸, no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha (AAAA)?