Dissertativa 22 - 2ª Fase - Dia 1 - Unesp 2026

No problema 44 do Papiro de Rhind, um dos documentos mais antigos sobre problemas matemáticos, seu autor, Ahmes, propõe a seguinte fórmula para o cálculo do volume V de um celeiro em formato de tronco de pirâmide reta, de base quadrangular, usando um cubo de aresta 10 u (unidades de comprimento) em seu interior: $\mathrm{V} = 1,5 · {\mathrm{S}}_{\mathrm{b}} · \mathrm{h}$, em que ${\mathrm{S}}_{\mathrm{b}}$ denota a área da base menor e h a altura do tronco de pirâmide.

(Gay Robins e Charles Shute. The Rhind mathematical papyrus: an ancient egyptian, 1987, Adaptado)

a) Calcule o volume, em u³, do tronco de pirâmide não ocupado pelo volume do cubo de aresta 10 u, levando em conta a fórmula de Ahmes.

b) Considere que a fórmula do volume de um tronco de pirâmide seja dada por $\frac{\mathrm{h}}{3} · ({\mathrm{S}}_{\mathrm{B}} + {\mathrm{S}}_{\mathrm{b}} + \sqrt{{\mathrm{S}}_{\mathrm{B}} · {\mathrm{S}}_{\mathrm{b}}})$, sendo h a altura do tronco e ${\mathrm{S}}_{\mathrm{B}}$ e ${\mathrm{S}}_{\mathrm{b}}$ as áreas das bases maior e menor do tronco, respectivamente, e que a fórmula de Ahmes reproduza corretamente esse cálculo. Determine uma equação quadrática da forma ${\mathrm{x}}^2 + \mathrm{bx} + \mathrm{c} = 0$, em que b e c são números inteiros, que tem como uma de suas raízes o valor, em u², da área ${\mathrm{S}}_{\mathrm{B}}$ da base maior do tronco de pirâmide que representa a forma do celeiro no problema 44 do Papiro.