Questão 2 - 1ª Fase - IME 2025

Seja  $[3, \infty )\to \mathrm{B}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}\right)}^{\mathrm{n}}$.

Repare que o somatório em questão é a soma de uma PG infinita de razão $\mathrm{q}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}$no intervalo (0, 1) e primeiro termo ${\mathrm{a}}_1=\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}$.

Desse modo:

$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}\right)}^{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{a}}_1}{1-\mathrm{q}}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}}}{1-\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{\mathrm{x}-1}{2}}-1, \mathrm{x}\ge 3$

Assim:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{x}-1}}\right)}^{\mathrm{n}}=1+\sqrt{\frac{\mathrm{x}-1}{2}}-1=\sqrt{\frac{\mathrm{x}-1}{2}}, \mathrm{x}\ge 3$

Desse modo, a sua função inversa é dada por

$\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\mathrm{x}-1}{2}}\to \mathrm{x}=2{\mathrm{y}}^2+1;$

Como $\mathrm{x}\ge 3$ então $\mathrm{y}\ge 1$.

Desse modo, a inversa é

${\mathrm{f}}^{-1}: [1, \infty ) \to [3, \infty ); {\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2+1$

Como ${\mathrm{f}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right)$ é estritamente crescente, então, o ponto mais próximo do eixo das abscissas (portanto, de menor ordenada) é dado para x = 1.

O ponto é $\left(1, {\mathrm{f}}^{-1}\left(1\right)\right)$. Desse modo, a soma de suas coordenadas é 1 + 3 = $\boxed{4}$.