Dissertação 1 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

No intervalo $\left(0,\mathrm{\pi }\right)$, as funções $\mathrm{cotg}\left(\mathrm{\alpha }\right)$ e $\mathrm{cossec}\left(\mathrm{\alpha }\right)$ estão bem definidas.

Para ${\mathrm{cossec}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)\ne 0$, tem-se que P(x) é um polinômio do segundo grau. Desse modo, dado que a equação ${\mathrm{cossec}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)·{\mathrm{x}}^2-\mathrm{cotg}\left(\mathrm{\alpha }\right)·\mathrm{x}+\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)=0$ deve ter raízes reais:

$$\begin{gathered} ∆\ge 0 \\ {\left[-\mathrm{cotg}\left(\mathrm{\alpha }\right)\right]}^2-4·{\mathrm{cossec}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)·\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)\ge 0 \\ \frac{{\cos }^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}{{\mathrm{sen}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}-\frac{4·\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)}{{\mathrm{sen}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}\ge 0 \\ \frac{\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)·\left[\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)-4\right]}{{\mathrm{sen}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}\ge 0 \end{gathered}$$

Nota-se que $\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)-4<0$ para todo $\mathrm{\alpha }$ real. Assim:

$\frac{\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)}{{\mathrm{sen}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}\le 0$

Além disso, ${\mathrm{sen}}^2\left(\mathrm{\alpha }\right)>0$ para todo $\mathrm{\alpha }\in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$. Desse modo:

$\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)\le 0$

Assim, sabendo que $-1<\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)\le 0$, tem-se: