Dissertação 4 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

Nota-se que $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} = \mathrm{cis}(60°) \mathrm{e} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} = \mathrm{cis}(-60°).$

Para a condição de existência da solução, considera-se $\mathrm{x}\ne \pm 1.$ Com isso, tem-se:

$\frac{{\mathrm{x}}^2+ \mathrm{cis}(60°)}{\mathrm{x} + 1} · \frac{{\mathrm{x}}^2+ \mathrm{cis}(-60°)}{\mathrm{x} - 1} = \frac{16}{{\left({\mathrm{x}}^2- 1\right)}^2}$

Assim: 

$\frac{({\mathrm{x}}^2+ \mathrm{cis}(60°\left)\right) · ({\mathrm{x}}^2+ \mathrm{cis}(-60°\left)\right)}{{\mathrm{x}}^2- 1} = \frac{16}{{\left({\mathrm{x}}^2- 1\right)}^2}$

Multiplicando os lados da equação por $({\mathrm{x}}^2- 1)$e efetuando os produtos:

${\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2·\left(\mathrm{cis}\right(60°) + \mathrm{cis}(-60°\left)\right) + \mathrm{cis}(60°)·\mathrm{cis}(-60°) = \frac{16}{{\mathrm{x}}^2- 1}$

Como $\mathrm{cis}(60°) + \mathrm{cis}(-60°) = 2·\cos 60° = 1$ e $\mathrm{cis}(60°)·\mathrm{cis}(-60°) = \mathrm{cis}(0°) = 1$, tem-se: 

${\mathrm{x}}^4 + {\mathrm{x}}^2 + 1 = \frac{16}{{\mathrm{x}}^2- 1 }$

$({\mathrm{x}}^2 - 1)·({\mathrm{x}}^4 + {\mathrm{x}}^2+ 1) = 16$
${\mathrm{x}}^6 - 1 = 16$
${\mathrm{x}}^6=17$

Da segunda lei de Moivre, as soluções da equação são dadas por: 

${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\sqrt[6]{17}. \mathrm{cis}\left(\frac{2\mathrm{k\pi }}{6}\right), \mathrm{k}= 0, 1, 2, 3, 4, 5$

Assim, o conjunto de solução da equação é:

$\boxed{\left\{\pm \sqrt[6]{17} ; \sqrt[6]{17} \left(\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right) ; \sqrt[6]{17} \left(-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)\right\}}$