Dissertação 10 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

Tem-se (para $\mathrm{z}\ne -1$):

$$\begin{gathered} \left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|+{\left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|}^2+{\left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|}^3+\dots \le \mathrm{k}-1 \\ 1+\left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|+{\left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|}^2+{\left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|}^3+\dots \le \mathrm{k} \end{gathered}$$

Nota-se que o somatório dado é uma PG infinita de razão positiva (dado $\mathrm{z}\ne 1$) que converge para um número real (tendo em vista ser menor ou igual a um número real, k-1). Logo, é necessário atender ao critério de convergência.

Desse modo, $0<\left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|<1$.

Assim, da fórmula da soma da PG infinita, tem-se:

$\frac{1}{1-\left|{\displaystyle \frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}}\right|}\le \mathrm{k}$

Desenvolvendo a expressão, observa-se:

$$\begin{gathered} \left|\frac{\mathrm{z}-1}{\mathrm{z}+1}\right|\le \frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{k}} \\ \frac{\left|\mathrm{z}-1\right|}{\left|\mathrm{z}+1\right|}\le \frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Desse modo, a razão entre as distâncias do afixo de z aos pontos (1, 0) e (-1, 0) é dada, no máximo, por $\frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{k}}$. Os afixos dos complexos z que satisfazem a condição $\frac{\left|\mathrm{z}-1\right|}{\left|\mathrm{z}+1\right|}=\frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{k}}$ são os pontos da circunferência de Apolônio representada a seguir:

O complexo z que pertence à circunferência de Apolônio e tem maior módulo é representado na figura pelo afixo (a, 0). Desse modo:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{a}-1}{\mathrm{a}+1}=\frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{k}} \\ \mathrm{ak}-\mathrm{k}=\mathrm{ak}+\mathrm{k}-\mathrm{a}-1 \\ \mathrm{a}=2\mathrm{k}-1 \end{gathered}$$

Portanto, o valor máximo de $\left|z\right|$ é dado por $\boxed{{\left|\mathrm{z}\right|}_{\mathrm{máx}}=2\mathrm{k}-1}$.