Dissertação 3 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Questão 3

Dissertativa

Há três casas numeradas pelos números naturais k, m e n, onde 0 < k < m < n. Três pessoas A, B e C as alugam por temporada com ocupação por sorteio. A cada sorteio cada pessoa recebe um valor em reais correspondente ao número da casa a si alocada. Depois do último sorteio A, B e C têm, acumulado, respectivamente, 10, 9 e 14 reais. Sabe-se que foram realizados pelo menos 2 sorteios e que no último deles B recebeu n reais.
Quais são os números das casas?

Resolução:

Chamando de S o número de sorteios, tem-se que saíram S números k, S números m e S números n. Logo:

S(k + m + n) = 10 + 9 + 14 = 33

Portanto, S pode ser 1, 3, 11 ou 33.

No entanto, 11 e 33 não convêm, pois, se fosse o caso, cada pessoa deveria receber mais que R$ 11,00. Além disso, o texto diz que S > 1, deixando apenas a possibilidade de S = 3, tornando: $k + m + n = 11$ .

Ainda, nota-se que $11 = k + m + n \geq 3 k + 3$ , pois $m \geq k + 1$ e $n \geq k + 2$ . Portanto, tem-se que $k \leq 2$ , ou mesmo que $11 = k + m + n \leq 3 n - 3$ . Dessa maneira, $n \geq 5$ .

Analisando os casos para a última condição encontrada, tem-se:

Se n = 5, deve-se ter k = 2 e m = 4, já que k = 1 e m = 5 não convêm.
Se n = 6, deve-se ter k = 2 e m = 3 ou k = 1 e m = 4, mas nenhuma das situações resultaria na soma 9 para B.
Se n = 7, deve-se ter k = 1 e m = 3, mas essa situação não resultaria na soma 9 para B.
Se n = 8, deve-se ter k = 1 e m = 2, mas essa situação não resultaria na soma 9 para B.

Logo, a única possibilidade para os números das casas é $n = 5, k = 2 e m = 4$ .

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