Dissertação 2 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

Como se trata de um polinômio de coeficientes reais e grau 3, deve-se ter uma raiz real, e as raízes não reais são conjugadas entre si.

Sejam ${\mathrm{x}}_1, \mathrm{z} \mathrm{e} \overline{\mathrm{z}}$ as raízes de ${\mathrm{x}}^3-\mathrm{\alpha x}+\mathrm{\beta }=0, {\mathrm{x}}_1\in \mathrm{ℝ} \mathrm{e} \left|\mathrm{z}\right|=\mathrm{\gamma }$.

Das relações de Girard, tem-se:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1·\mathrm{z}·\overline{\mathrm{z}}=-\mathrm{\beta } \\ {\mathrm{x}}_1·{\left|\mathrm{z}\right|}^2=-\mathrm{\beta } \\ {\mathrm{x}}_1·{\mathrm{\gamma }}^2=-\mathrm{\beta } \\ {\mathrm{x}}_1=-\frac{\mathrm{\beta }}{{\mathrm{\gamma }}^2} \end{gathered}$$

Como ${\mathrm{x}}_1$ é raiz da equação:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1^3-\mathrm{\alpha }·{\mathrm{x}}_1+\mathrm{\beta }=0 \\ {\left(-\frac{\mathrm{\beta }}{{\mathrm{\gamma }}^2}\right)}^3-\mathrm{\alpha }·\left(-\frac{\mathrm{\beta }}{{\mathrm{\gamma }}^2}\right)+\mathrm{\beta }=0 \\ -\frac{{\mathrm{\beta }}^3}{{\mathrm{\gamma }}^6}+\frac{\mathrm{\alpha }·\mathrm{\beta }}{{\mathrm{\gamma }}^2}+\mathrm{\beta }=0 \end{gathered}$$

Multiplicando a equação por ${\mathrm{\gamma }}^6$:

$$\begin{gathered} -{\mathrm{\beta }}^3+\mathrm{\alpha }·\mathrm{\beta }·{\mathrm{\gamma }}^4+\mathrm{\beta }·{\mathrm{\gamma }}^6=0 \\ \mathrm{\alpha }·\mathrm{\beta }·{\mathrm{\gamma }}^4= {\mathrm{\beta }}^3-\mathrm{\beta }·{\mathrm{\gamma }}^6 \end{gathered}$$

Tem-se, então, dois casos a considerar: 

1º caso: Se $\mathrm{\beta }\ne 0$ 

$\boxed{\mathrm{\alpha }=\frac{{\mathrm{\beta }}^2-{\mathrm{\gamma }}^6}{{\mathrm{\gamma }}^4}}$

2º caso: Se $\mathrm{\beta }=0$

Para que a equação apresente raízes não reais, deve-se ter $\mathrm{\alpha }<0$. Nesse caso, as raízes são dadas por ${\mathrm{x}}_1=0, \mathrm{z} = \mathrm{i}\sqrt{-\mathrm{\alpha }} \mathrm{e} \overline{\mathrm{z}}=-\mathrm{i}\sqrt{-\mathrm{\alpha }}$.
Assim: $\left|\mathrm{z}\right|=\mathrm{\gamma } \to \sqrt{-\mathrm{\alpha }}=\mathrm{\gamma }\to -\mathrm{\alpha }={\mathrm{\gamma }}^2 \to \boxed{\mathrm{\alpha }=-{\mathrm{\gamma }}^2}$