Dissertação 7 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

Do enunciado:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\frac{{\mathrm{x}}^{2025}-1}{\mathrm{x}-1}\right)}^{2025}\Rightarrow \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right) = {\left({\mathrm{x}}^{2024}+{\mathrm{x}}^{2023}+\dots +{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}^{2025}$

Ou seja, P(x) é o produto de 2025 polinômios iguais a $\underset{}{\overset{}{\sum _{\mathrm{k} = 0}^{2024} }}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}$.

Para formar o fator ${\mathrm{x}}^3$, há apenas 3 possibilidades:

1) Escolhe-se um polinômio para contribuir com o fator ${\mathrm{x}}^3$, e os demais contribuem com a unidade. Isso pode ser feito de $\left(\begin{array}{c}2025\\ 1\end{array}\right)$ maneiras.

2) Escolhem-se dois polinômios, um para contribuir com o fator ${\mathrm{x}}^2$ e o outro com x. Os demais contribuem com a unidade. Como a ordem das escolhas importa, isso pode ser feito de $2·\left(\begin{array}{c}2025\\ 2\end{array}\right)$ maneiras.

3) Escolhem-se três polinômios para contribuírem com o fator x, e os demais contribuem com fatores 1. Isso pode ser feito de $\left(\begin{array}{c}2025\\ 3\end{array}\right)$ maneiras.

Como cada possibilidade acrescenta uma unidade ao fator ${\mathrm{x}}^3$, seu coeficiente será:

$$\begin{gathered} \mathrm{coef}\left({\mathrm{x}}^3\right)=\left(\begin{array}{c}2025\\ 1\end{array}\right)+2 \left(\begin{array}{c}2025\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2025\\ 3\end{array}\right) \\ \mathrm{coef}\left({\mathrm{x}}^3\right)=\left[\left(\begin{array}{c}2025\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2025\\ 2\end{array}\right)\right]+\left[\left(\begin{array}{c}2025\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2025\\ 3\end{array}\right)\right] \end{gathered}$$

Utilizando a relação de Stifel:

$\mathrm{coef}\left({\mathrm{x}}^3\right)=\left[\left(\begin{array}{c}2026\\ 2\end{array}\right)\right]+\left[\left(\begin{array}{c}2026\\ 3\end{array}\right)\right] \Rightarrow \boxed{\mathrm{coef}\left({\mathrm{x}}^3\right)=\left(\begin{array}{c}2027\\ 3\end{array}\right)}$

2ª solução:

Como $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right) = {\left({\mathrm{x}}^{2024}+{\mathrm{x}}^{2023}+\dots +{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}^{2025}$ é formado pelo produto de 2025 fatores, sejam ${\mathrm{e}}_1,{\mathrm{e}}_2,\dots ,{\mathrm{e}}_{2025}$ os expoentes escolhidos em cada fator para construção do termo em ${\mathrm{x}}^3$.

Deve-se ter:

${\mathrm{e}}_1+{\mathrm{e}}_2+\dots +{\mathrm{e}}_{2025}=3$

O coeficiente de ${\mathrm{x}}^3$ será igual ao número de soluções inteiras não negativas dessa equação.

Portanto:

$\mathrm{coef}\left({\mathrm{x}}^3\right)=\left(\begin{array}{c}2025 -1 +3\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow \boxed{\mathrm{coef}\left({\mathrm{x}}^3\right)=\left(\begin{array}{c}2027\\ 3\end{array}\right)}$