Dissertação 6 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

$$\begin{gathered} \det (2\mathrm{AB}+\mathrm{A}-2\mathrm{B}-\mathrm{I})=\det \left(\right(\mathrm{A}-\mathrm{I}\left)\right(2\mathrm{B}+\mathrm{I}\left)\right)=\det (\mathrm{A}-\mathrm{I})\det (2\mathrm{B}+\mathrm{I}) \\ \det (\mathrm{A}-\mathrm{I})\det (2\mathrm{B}+\mathrm{I})=\left|\begin{array}{ccc}0& \mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}+\mathrm{\pi }}{8}\right)& 3\\ \mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}+\mathrm{\pi }}{8}\right)& 0& 1\\ -2& -1& 0\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}0& 6& -4\\ 4& 0& 2\mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}-\mathrm{\pi }}{8}\right)\\ 1& 2\mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}-\mathrm{\pi }}{8}\right)& 0\end{array}\right| \\ =100\mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}+\mathrm{\pi }}{8}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}-\mathrm{\pi }}{8}\right) \end{gathered}$$

Mas $\det (2\mathrm{AB}+\mathrm{A}-2\mathrm{B}-\mathrm{I})=0$, o que implica que

$$\begin{gathered} \mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}+\mathrm{\pi }}{8}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{4\mathrm{x}-\mathrm{\pi }}{8}\right)=0 \\ \mathrm{cosx}-\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}=0 \\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \mathrm{ou} \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{4} \\ \boxed{\mathrm{S}=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{4}; \frac{7\mathrm{\pi }}{4}\right\}} \end{gathered}$$