Dissertação 8 - IME - 2ª Fase Dia 1 - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Questão 8

Dissertativa

Seja $α$ uma semicircunferência de diâmetro $A B$ contida no primeiro quadrante, sendo $A = (0, 0) e B = (x_{B,} 0) .$ A reta t tangencia $α$ no ponto $T = (x_{T}, y_{T})$ e intercepta o eixo x no ponto $C = (x_{C}, 0), x_{C} > x_{B}$ . Com o centro em T, traça-se uma circunferência de raio TH, $H = (x_{T}, 0) .$ Essa circunferência corta a reta t nos pontos $D = (x_{D}, y_{D})$ e $E = (x_{E}, y_{E}) .$ Sabe-se que $x_{D} < x_{B} < x_{E}$ , $B C = 5 e H B = 4$ .

Determine as coordenadas de D.

Resolução:

$tg α = \frac{r}{9} = \frac{R - 4}{r} \to r^{2} = 9 (R - 4) R^{2} = r^{2} + {(R - 4)}^{2} = 9 (R - 4) + {(R - 4)}^{2} \to R^{2} = 9 R - 36 + R^{2} - 8 R + 16 \to R = 20 \to r = 12$

${CT}^{2} = r^{2} + 9^{2} = 12^{2} + 9^{2} \to CT = 15 CD = CT + r = 27 y_{D} = CD \cdot senα = 27 \cdot \frac{12}{15} \Rightarrow y_{D} = \frac{108}{5} x_{C} - x_{D} = CD \cdot cosα \Rightarrow 45 - x_{D} = 27 \cdot \frac{9}{15} \Rightarrow x_{D} = \frac{144}{5}$

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