Questão 6 - 1ª Fase - IME 2025

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\det \left(\mathrm{A}\right)=2\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 2& \dots & 2022\\ 1& \mathrm{x}& 1& 2& \dots & 2022\\ 1& 0& \mathrm{x}& 2& \dots & 2022\\ 1& 0& 1& \mathrm{x}& \dots & 2022\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1& 0& 1& 2& \dots & \mathrm{x}\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{T} \mathrm{de} \mathrm{Jacobi}}{\overbrace{=}}2\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& \dots & 0\\ 1& \mathrm{x}& 0& 0& \dots & 0\\ 1& 0& \mathrm{x}-1& 0& \dots & 0\\ 1& 0& 0& \mathrm{x}-2& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1& 0& 0& 0& \dots & \mathrm{x}-2022\end{array}\right]$

Seja ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ a n-ésima coluna. A partir da terceira coluna, cada coluna sofreu a operação:

${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}-\left(\mathrm{n}-2\right){\mathrm{C}}_2$

Desse modo:

$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)...\left(\mathrm{x}-2022\right)$

A soma das raízes deste polinômio é

0 + 1 + 2 + 3 + ... + 2022 =$\frac{\left(0+2022\right)2023}{2}=\boxed{1 011·2 023}$